- 函数
- 概念
- 性质
- 极限
- 概念
- 性质
- 极限存在准则
- 求极限
- 利用基本极限求极限
- 常用的基本极限
- 1^∞型极限
- 利用等价无穷小求极限
- 利用有理运算法则求极限
- 利用洛必达法则求极限
- 利用泰勒公式求极限
- 无穷小和无穷大
- 概念
- 性质
- 无穷小、无穷大的比较
- 无穷小、无穷大、极限、无界的关系
- 函数的连续性
- 概念
- 间断点及其分类
- 概念
- 分类
- 性质
- 初等数学相关复习
- 幂、根式、指数和对数的计算
- 基本初等函数
- 三角函数变换
- 一元二次方程
- 充分条件和必要条件
-
函数：如果对于每个数 x ∈ D x∈D x∈D，变量 x x x按照一定的法则总有一个确定的数值 y y y和它相对应，则称 y y y是 x x x的函数，记为： y = f ( x ) , x ∈ D y=f(x),x∈D y=f(x),x∈D。其中 x x x称为自变量， y y y称为因变量， D D D称为函数的定义域，记作 D f D_f Df。当两个函数的定义域和对应规则完全相同时，它们就是同一函数。
-
复合函数：设函数 f ( u ) f(u) f(u)的定义域为 D f D_f Df，函数 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x)的定义域为 D g D_g Dg，值域为 R g R_g Rg，若 D g ∩ R g ≠ ∅ D_g∩R_g≠∅ Dg∩Rg=∅，则称 y = f [ g ( x ) ] y=f[g(x)] y=f[g(x)]为函数 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)与 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x)的复合函数。它的定义域为 { x ∣ x ∈ D g ， g ( x ) ∈ D f {x|x∈D_g，g(x)∈D_f {x∣x∈Dg，g(x)∈Df}。
-
反函数：设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的定义域为 D D D，值域为 R y R_y Ry，若对任意 y ∈ R y y∈R_y y∈Ry，有唯一确定的 x ∈ D x∈D x∈D，使得 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，则记为 x = f − 1 ( y ) x=f^{-1}(y) x=f−1(y)。称其为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的反函数。
-
初等函数：将幂函数、指数、对数、三角、反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到的且能用一个解析式表示的函数，称为初等函数。
关于反函数有几点要注意：
- 单调函数一定有反函数，反之则不然。
- 有时候也将反函数写成 y = f − 1 ( x ) y=f^{-1}(x) y=f−1(x)，在同一个坐标系中， y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)和 x = f − 1 ( y ) x=f^{-1}(y) x=f−1(y)的图形重合， y = f ( x y=f(x y=f(x)和 y = f − 1 ( x ) y=f^{-1}(x) y=f−1(x)的图形关于 y = x y=x y=x对称。
- [ f − 1 ( x ) ] = x ， f [ f − 1 ( x ) ] = x [f^{-1}(x)]=x，f[f^{-1}(x)]=x [f−1(x)]=x，f[f−1(x)]=x。
- 单调性：设
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在区间I上有定义，若对于区间I上任意两点
x
1
<
x
2
x_1
- 奇偶性：设 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的定义域 D D D关于原点对称， ∀ x ∈ D ∀x∈D ∀x∈D，如果恒有 f ( − x ) = f ( x ) f(-x)=f(x) f(−x)=f(x)，则称 f ( x ) f(x) f(x)为 D D D上的偶函数；如果 f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f(−x)=−f(x)，则称 f ( x ) f(x) f(x)为 D D D上的奇函数。
- 周期性：若存在实数 T > 0 T>0 T>0，对于任意 x x x，恒有 f ( x + T ) = f ( x ) f(x+T)=f(x) f(x+T)=f(x)，则称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)为周期函数，使得上式成立的最小正数 T T T称为最小正周期，简称为函数 f ( x ) f(x) f(x)的周期。
- 有界性：若存在 M > 0 M>0 M>0，使得对任意的 x ∈ X x∈X x∈X，恒有 ∣ f ( x ) ∣ ≤ M |f(x)|≤M ∣f(x)∣≤M，则称 f ( x ) f(x) f(x)在 x x x上为有界函数。
对于任意给定的 ε > 0 varepsilon >0 ε>0，存在 X > 0 X>0 X>0：
- 当 x > X x>X x>X时，恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ɛ |f(x)-A|<ɛ ∣f(x)−A∣<ɛ。则常数 A A A为函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x x x趋近于正无穷时的极限，记为 lim x → + ∞ f ( x ) = A limlimits_{xto+infty}f(x) = A x→+∞limf(x)=A；
- 当 x < − X x<-X x<−X时，恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ɛ |f(x)-A|<ɛ ∣f(x)−A∣<ɛ。则常数 A A A为函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x x x趋近于负无穷时的极限，记为 lim x → − ∞ f ( x ) = A limlimits_{xto-infty}f(x) = A x→−∞limf(x)=A；
- 当 ∣ x ∣ > X |x|>X ∣x∣>X时，恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ɛ |f(x)-A|<ɛ ∣f(x)−A∣<ɛ。则常数A为函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x x x趋近于无穷时的极限，记为 lim x → ∞ f ( x ) = A limlimits_{xtoinfty}f(x) = A x→∞limf(x)=A；
- lim x → ∞ f ( x ) = A limlimits_{xtoinfty}f(x) = A x→∞limf(x)=A存在的充要条件： lim x → − ∞ f ( x ) = lim x → + ∞ f ( x ) = A limlimits_{xto-infty}f(x) = limlimits_{xto+infty}f(x) = A x→−∞limf(x)=x→+∞limf(x)=A。
对任意给定的 ε > 0 varepsilon >0 ε>0，存在 δ > 0 delta>0 δ>0（其中 ɛ ɛ ɛ用于刻画函数值和常数 A A A的接近程度， δ delta δ用于刻画 x x x趋近于 x 0 x_0 x0的过程）：
- 当
x
0
−
δ
<
x
<
x
0
x_0-delta
- 当 x 0 < x < x 0 + δ x_0
- 当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|
- lim x → x 0 f ( x ) = A limlimits_{xto x_0}f(x) = A x→x0limf(x)=A存在的充要条件： lim x → x 0 − f ( x ) = A = lim x → x 0 + f ( x ) = A limlimits_{xto{x_0^-}}f(x) = A=limlimits_{xto{x_0^+}}f(x) = A x→x0−limf(x)=A=x→x0+limf(x)=A。
- 当 x 0 < x < x 0 + δ x_0
几何意义：
- 对于任意给定的 δ > 0 delta>0 δ>0，总存在去心邻域 U ( x 0 , δ ) U(x_0,delta) U(x0,δ)，当 x ∈ U x∈U x∈U时，曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)夹在两直线 y = A − ε y=A-varepsilon y=A−ε和 y = A + ε y=A+varepsilon y=A+ε之间。
注意：
- 极限 lim n → x 0 f ( x ) = A limlimits_{nto{x_0}}f(x) = A n→x0limf(x)=A是否存在以及存在极限值等于多少与 f ( x ) f(x) f(x)在 x = x 0 x=x_0 x=x0处有没有定义，有定义值是多少无关。
在书写时，函数中的 x → ∞ xtoinfty x→∞等价于 ∣ x ∣ → + ∞ |x|to+infty ∣x∣→+∞， x → x 0 xto x_0 x→x0等价于 ∣ x ∣ → + x 0 + |x|to+ x_0^+ ∣x∣→+x0+，因此在求极限时有以下三种情况需要分左右极限进行求解：
- 分段函数在分界点处的极限（在该分界点两侧函数表达式不同）。
- e ∞ e^infty e∞
- a r c t a n ∞ arctaninfty arctan∞
- 有界性：若 lim x → x 0 f ( x ) limlimits_{xto x_0}f(x) x→x0limf(x)存在，则 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0某去心邻域有界。
- 保号性：设 lim x → x 0 = A limlimits_{xto x_0}=A x→x0lim=A，如果 A > 0 A>0 A>0，则存在 δ > 0 delta>0 δ>0，当 x x x属于去心邻域 U ( x 0 , δ ) U(x_0,delta) U(x0,δ)时， f ( x ) > 0 f(x)>0 f(x)>0；如果存在 δ > 0 delta>0 δ>0，当 x x x属于去心邻域 U ( x 0 , δ ) U(x_0,delta) U(x0,δ)时， f ( x ) ≥ 0 f(x)≥0 f(x)≥0，那么 A ≥ 0 A≥0 A≥0。
- 夹逼准则：若存在N，当
n
>
N
n>N
n>N时，
x
n
<
y
n
<
z
n
x_n
- 单调有界准则：单调有界数列必有极限，单调增、有上界的数列必有极限；单调减、有下界的数列必有极限。单调有界准则常用于递推关系。
若 lim a ( x ) = 0 , lim b ( x ) = ∞ lim a(x)=0,lim b(x)=infty lima(x)=0,limb(x)=∞，且 lim a ( x ) b ( x ) = A lim a(x)b(x)=A lima(x)b(x)=A，则 l i m ( 1 + a ( x ) ) b ( x ) = e A lim(1+a(x))^{b(x)}=e^A lim(1+a(x))b(x)=eA。可以归纳为以下三步：
- 写标准形式：原式= lim [ 1 + a ( x ) ] b ( x ) lim [1+a(x)]^{b(x)} lim[1+a(x)]b(x)
- 求极限： lim a ( x ) b ( x ) = A lim a(x)b(x)=A lima(x)b(x)=A
- 写结果：原式 = e A =e^A =eA
若：
- lim x → x 0 f ( x ) = lim x → x 0 g ( x ) = 0 ( ∞ ) limlimits_{xto x_0}f(x)=limlimits_{xto x_0}g(x)=0(infty) x→x0limf(x)=x→x0limg(x)=0(∞)
- 且 f ( x ) f(x) f(x)和 g ( x ) g(x) g(x)在 x 0 x_0 x0的去心邻域内可导
- 且 g ′ ( x ) ≠ 0 g^{'}(x)≠0 g′(x)=0， lim x → x 0 f ′ ( x ) g ′ ( x ) limlimits_{xto x_0}frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} x→x0limg′(x)f′(x)存在或 ∞ infty ∞
则：
- lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = lim x → x 0 f ′ ( x ) g ′ ( x ) ) limlimits_{xto x_0}frac{f(x)}{g(x)}=limlimits_{xto x_0}frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x))} x→x0limg(x)f(x)=x→x0limg′(x))f′(x)
洛必达法则可用于求七种类型不定式的极限，即 0 0 , ∞ ∞ , ∞ − ∞ , 0 × ∞ , 1 ∞ , ∞ 0 , 0 0 frac{0}{0},frac{infty}{infty},infty-infty,0timesinfty,1^infty,infty^0,0^0 00,∞∞,∞−∞,0×∞,1∞,∞0,00，其中前两种可以直接使用洛必达法则，后五种均可变换为前两种，使用洛必达法则应该注意以下几个问题：
- 首先检验条件是否满足。
- 使用洛必达法则之后，如果仍满足洛必达法则条件，可以再次使用洛必达法则。
- 如果 0 0 , ∞ ∞ frac{0}{0},frac{infty}{infty} 00,∞∞型中的函数含有极限非零的因子，可以单独求极限，不必参与洛必达法则运算。
- 如果能进行等价无穷小代换或恒等变换配合洛必达法则使用，也可以简化运算。
带皮亚诺余项的泰勒公式，设 f ( x ) f(x) f(x)在 x = x 0 x=x_0 x=x0处 n n n阶可导，则 f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + f ( n ) n ! ( x − x 0 ) n + o [ ( x − x 0 ) n ] f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+frac{f^{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+cdots+frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n] f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x−x0)n+o[(x−x0)n]特别是当x_0=0时： f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + ⋯ + f ( n ) ( 0 ) n ! x n + o ( x n ) f(x)=f(0)+f^{'}(0)x+frac{f^{''}(0)}{2!}x^2+cdots+frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n) f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+o(xn)几个常用的泰勒公式如下：
- e x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! + o ( x n ) e^x=1+x+frac{x^2}{2!}+cdots+frac{x^n}{n!}+o({x^n}) ex=1+x+2!x2+⋯+n!xn+o(xn)
- s i n x = x − x 3 3 ! + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 + x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + o ( x ( 2 n − 1 ) ) sinx=x-frac{x^3}{3!}+cdots+(-1)^{n-1}+frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o({x^{(2n-1)}}) sinx=x−3!x3+⋯+(−1)n−1+(2n−1)!x2n−1+o(x(2n−1))
- c o s x = 1 − x 2 2 ! + ⋯ + ( − 1 ) n + x 2 n ( 2 n ) ! + o ( x ( 2 n ) ) cosx=1-frac{x^2}{2!}+cdots+(-1)^{n}+frac{x^{2n}}{(2n)!}+o({x^{(2n)}}) cosx=1−2!x2+⋯+(−1)n+(2n)!x2n+o(x(2n))
- l n ( 1 + x ) = x − x 2 2 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + o ( x n ) ln(1+x)=x-frac{x^2}{2}+cdots+(-1)^{n-1}frac{x^n}{n}+o(x^n) ln(1+x)=x−2x2+⋯+(−1)n−1nxn+o(xn)
- ( 1 + x ) n = 1 + a x + a ( a − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + a ( a − 1 ) ⋯ ( a − n + 1 ) n ! x n + o ( x n ) (1+x)^n=1+ax+frac{a(a-1)}{2!}x^2+dots+frac{a(a-1)cdots(a-n+1)}{n!}x^n+o(x^n) (1+x)n=1+ax+2!a(a−1)x2+⋯+n!a(a−1)⋯(a−n+1)xn+o(xn)
- 无穷小：若函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x → x 0 （或 x → ∞ ） xto x_0（或xtoinfty） x→x0（或x→∞）时的极限为零，则称 f ( x ) f(x) f(x)为 x → x 0 （或 x → ∞ ） xto x_0（或xtoinfty） x→x0（或x→∞）时的无穷小量。
- 无穷大：若函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x → x 0 （或 x → ∞ ） xto x_0（或xtoinfty） x→x0（或x→∞）时趋于无穷，则称 f ( x ) f(x) f(x)为 x → x 0 （或 x → ∞ ） xto x_0（或xtoinfty） x→x0（或x→∞）时的无穷大量。
无穷小的性质：
- 有限个无穷小的和差仍是无穷小。
- 有限个无穷小的积仍是无穷小。
- 无穷小量和有界量的积仍是无穷小。
无穷大的性质：
- 有限个无穷大的乘积也是无穷大。
- 无穷大量与有界量的和仍为无穷大。
无穷小的比较：设 lim a ( x ) = 0 , lim b ( x ) = 0 lim a(x)=0,lim b(x)=0 lima(x)=0,limb(x)=0：
- 高阶： lim a ( x ) lim b ( x ) = 0 frac{lim a(x)}{lim b(x)}=0 limb(x)lima(x)=0，记为 a ( x ) = o ( b ( x ) ) a(x)=o(b(x)) a(x)=o(b(x))；
- 低阶： lim a ( x ) lim b ( x ) = ∞ frac{lim a(x)}{lim b(x)}=infty limb(x)lima(x)=∞；
- 同阶： lim a ( x ) lim b ( x ) = C ≠ 0 frac{lim a(x)}{lim b(x)}=C≠0 limb(x)lima(x)=C=0；
- 等价： lim a ( x ) lim b ( x ) = 1 frac{lim a(x)}{lim b(x)}=1 limb(x)lima(x)=1；记为 a ( x ) ∼ b ( x ) a(x)sim b(x) a(x)∼b(x)；
- 无穷小的阶：若 lim a ( x ) lim [ b ( x ) ] k = C ≠ 0 ，则称 a ( x ) 是 b ( x ) 的 k 阶无穷小 frac{lim a(x)}{lim [b(x)]^k}=C≠0，则称a(x)是b(x)的k阶无穷小 lim[b(x)]klima(x)=C=0，则称a(x)是b(x)的k阶无穷小。
无穷大的比较：
- 当
x
→
+
∞
xto +infty
x→+∞时，
l
n
α
x
<
<
x
β
<
<
a
x
ln^{alpha}x<
- 当
n
→
∞
ntoinfty
n→∞时，
l
n
α
n
<
<
n
β
<
<
a
n
<
<
n
!
<
<
n
n
ln^{alpha}n<
- 无穷小和极限的关系： lim f ( x ) = A lim f(x)=A limf(x)=A等价于 f ( x ) = A + α ( x ) f(x)=A+alpha(x) f(x)=A+α(x)，其中 lim α ( x ) = 0 limalpha(x)=0 limα(x)=0，极限值等于无穷小属于极限存在。
- 无穷大和极限的关系：极限值可以等五无穷大，极限值等于无穷大属于极限不存在。
- 无情小和无穷大的关系：在同一极限过程中，如果 f ( x ) f(x) f(x)是无穷大，则 1 f ( x ) frac{1}{f(x)} f(x)1是无穷小；如果 f ( x ) f(x) f(x)是无穷小，且 f ( x ) ≠ 0 f(x)≠0 f(x)=0，则 1 f ( x ) frac{1}{f(x)} f(x)1是无穷大。
- 无穷大和无界量的关系：无穷大量一定是无界量，无界量不一定是无穷大量。
若 lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) limlimits_{xto x_0}f(x)=f(x_0) x→x0limf(x)=f(x0)，则称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0处连续；若 lim x → x 0 − f ( x ) = f ( x 0 ) limlimits_{xto x_0^-}f(x)=f(x_0) x→x0−limf(x)=f(x0)，则称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0处左连续；若 lim x → x 0 + f ( x ) = f ( x 0 ) limlimits_{xto x_0^+}f(x)=f(x_0) x→x0+limf(x)=f(x0)，则称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0处右连续； f ( x ) f(x) f(x)连续 ↔ f ( x ) leftrightarrow f(x) ↔f(x)左连续且右连续；如果 f ( x ) f(x) f(x)在区间 ( a ， b ) (a，b) (a，b)内每点都连续，则称 f ( x ) f(x) f(x)在区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内连续，在 x = a x=a x=a处右连续，在 x = b x=b x=b处左连续，则称 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续。
间断点及其分类 概念若 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0的某去心邻域有定义，但在 x 0 x_0 x0处不连续，则称 x 0 x_0 x0为 f ( x ) f(x) f(x)的间断点。
分类- 第一类间断点：所有极限都存在的间断点称为第一类间断点，其中左右极限都存在且相等的间断点称为可去间断点，左右极限都存在但不相等的间断点称为跳跃间断点。
- 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点。若 lim x → x 0 − = ∞ limlimits_{xto x^-_0}=infty x→x0−lim=∞或 lim x → x 0 + = ∞ limlimits_{xto x^+_0}=infty x→x0+lim=∞，则称 x 0 x_0 x0为 f ( x ) f(x) f(x)的无穷间断点；若 f ( x ) f(x) f(x)左右极限都不存在并且在 x 0 x_0 x0的某去心邻域内无穷多次振荡，则称 x 0 x_0 x0为函数 f ( x ) f(x) f(x)的震荡间断点。
- 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
- 连续函数的复合仍为连续函数。
- 基本初等函数在其定义域内是连续的。
- 初等函数在其定义区间（定义区间包含在定义域内）内是连续的。
- 若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]内连续，则 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有界。
- 若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]内连续，则 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上一定有最大值和最小值。
- 若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]内连续，且 f ( a ) ≠ f ( b ) f(a)≠f(b) f(a)=f(b)，则对 f ( a ) f(a) f(a)和 f ( b ) f(b) f(b)之间任意一点 C C C，至少存在一个 ξ ∈ ( a , b ) xi∈(a,b) ξ∈(a,b)，使得 f ( ξ ) = C f(xi)=C f(ξ)=C。
- 若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，且 f ( a ) × f ( b ) < 0 f(a)times f(b)<0 f(a)×f(b)<0，则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) existsxi∈(a,b) ∃ξ∈(a,b)，使得 f ( ξ ) = 0 f(xi)=0 f(ξ)=0。
- 幂运算： a m a n = a m + n a m ÷ a n = a m − n ( a m ) n = a m n ( a b ) m = a m b m ( a b ) m = a m b m a^ma^n=a^{m+n}\a^mdiv a^n=a^{m-n}\(a^m)^n=a^{mn}\(ab)^m=a^mb^m\(frac{a}{b})^m=frac{a^m}{b^m} aman=am+nam÷an=am−n(am)n=amn(ab)m=ambm(ba)m=bmam
指数函数：
对数函数：
幂函数：
正弦函数：
反正弦函数：
余弦函数：
反余弦函数：
正切函数：
反正切函数：
余切函数：
反余切函数图像：
正割函数：
反正割函数：
余割函数：
反余割函数：
- 三角函数的转化公式： s i n ( − α ) = − s i n α c o s ( − α ) = c o s α s i n ( π / 2 − α ) = c o s α c o s ( π / 2 − α ) = s i n α s i n ( π / 2 + α ) = c o s α c o s ( π / 2 + α ) = − s i n α s i n ( π − α ) = s i n α c o s ( π − α ) = − c o s α s i n ( π + α ) = − s i n α t a n α = s i n α / c o s α t a n ( π / 2 + α ) = − c o t α t a n ( π / 2 − α ) = c o t α t a n ( π − α ) = − t a n α t a n ( π + α ) = t a n α sin(-α)=-sinα\cos(-α)=cosα\sin(π/2-α)=cosα\cos(π/2-α)=sinα\sin(π/2+α)=cosα\cos(π/2+α)=-sinα\sin(π-α)=sinα\cos(π-α)=-cosα\sin(π+α)=-sinα\tanα=sinα/cosα\tan(π/2+α)=-cotα\tan(π/2-α)=cotα\tan(π-α)=-tanα\tan(π+α)=tanα sin(−α)=−sinαcos(−α)=cosαsin(π/2−α)=cosαcos(π/2−α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=−sinαsin(π−α)=sinαcos(π−α)=−cosαsin(π+α)=−sinαtanα=sinα/cosαtan(π/2+α)=−cotαtan(π/2−α)=cotαtan(π−α)=−tanαtan(π+α)=tanα
- 三角和差变换乘积公式： s i n A + s i n B = 2 s i n [ ( A + B ) / 2 ] c o s [ ( A − B ) / 2 ] s i n A − s i n B = 2 c o s [ ( A + B ) / 2 ] s i n [ ( A − B ) / 2 ] c o s A + c o s B = 2 c o s [ ( A + B ) / 2 ] c o s [ ( A − B ) / 2 ] c o s A − c o s B = − 2 s i n [ ( A + B ) / 2 ] s i n [ ( A − B ) / 2 ] t a n A + t a n B = s i n ( A + B ) / c o s A c o s B = t a n ( A + B ) ( 1 − t a n A t a n B ) t a n A − t a n B = s i n ( A − B ) / c o s A c o s B = t a n ( A − B ) ( 1 + t a n A t a n B ) sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]\sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]\cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]\cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]\tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)\tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A−B)/2]sinA−sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A−B)/2]cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A−B)/2]cosA−cosB=−2sin[(A+B)/2]sin[(A−B)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1−tanAtanB)tanA−tanB=sin(A−B)/cosAcosB=tan(A−B)(1+tanAtanB)
- 三角乘积变换和差公式： s i n A s i n B = − [ c o s ( A + B ) − c o s ( A − B ) ] / 2 c o s A c o s B = [ c o s ( A + B ) + c o s ( A − B ) ] / 2 s i n A c o s B = [ s i n ( A + B ) + s i n ( A − B ) ] / 2 c o s A s i n B = [ s i n ( A + B ) − s i n ( A − B ) ] / 2 l sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2\cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2\sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2\cosAsinB=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2l sinAsinB=−[cos(A+B)−cos(A−B)]/2cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A−B)]/2sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A−B)]/2cosAsinB=[sin(A+B)−sin(A−B)]/2l
- 三角函数的倒数关系公式： t a n α c o t α = 1 s i n α c s c α = 1 c o s α s e c α = 1 tanαcotα=1\sinαcscα=1\cosαsecα=1 tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1
- 三角函数的商数关系公式： t a n α = s i n α / c o s α c o t α = c o s α / s i n α tanα=sinα/cosα\cotα=cosα/sinα tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα
- 三角函数的平方关系公式： ( s i n a ) 2 + ( c o s a ) 2 = 1 1 + ( t a n a ) 2 = ( s e c a ) 2 1 + ( c o t a ) 2 = ( c s c a ) 2 (sina)^2+(cosa)^2=1\1+(tana)^2=(seca)^2\1+(cota)^2=(csca)^2 (sina)2+(cosa)2=11+(tana)2=(seca)21+(cota)2=(csca)2
- 充分条件：由前一个条件推出后一个条件。
- 必要条件：由后一个条件推出前一个条件。
- 充要条件：前一个条件能推出后一个条件，后一个条件也能推出前一个条件。
