目录
算法----动态规划
斐波那契数列
爬楼梯
使用最小体力爬楼梯（746）
不同路径（62）
不同路径||（63）
整数拆分（343）
不同的二叉树（96）
分割等和子集
最后一块石头的重量||（1049）
目标和（494）
一和零（474）
零钱兑换||（518）
组合总和IV（377）
爬楼梯（进阶70）
零钱兑换（322）
完全平方数（279）
单词拆分（139）
打家劫舍（198）
打家劫舍||（213）
打家劫舍|||（337）
买卖股票的最佳时机（121）
买卖股票的最佳时机||
买卖股票的最佳时机IV
买卖股票的最佳时|||
买卖股票的最佳时机含冷冻期（309）
买卖股票的最佳时机含手续费
最长递增子序列（300）
最长连续递增序列（674）
最长重复子数组（718）
不相交的线（1035）
最大子序和（53）
判断子序列（392）
不同的子序列（115）
两个字符串的删除操作（583）
编辑距离（72）
回文子串(647)
最长回文子序列（516）
算法----动态规划
-
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
-
确定递推公式
-
dp数组如何初始化
-
确定遍历顺序
-
举例推导dp数组
斐波那契数列
class Solution {
public int fib(int n) {
if (n <= 1) return n;
int[] dp = new int[n + 1];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int index = 2; index <= n; index++){
dp[index] = dp[index - 1] + dp[index - 2];
}
return dp[n];
}
}
int fib(int N) {
// 备忘录全初始化为 0
int[] memo = new int[N + 1];
// 进行带备忘录的递归
return helper(memo, N);
}
int helper(int[] memo, int n) {
// base case
if (n == 0 || n == 1) return n;
// 已经计算过，不用再计算了
if (memo[n] != 0) return memo[n];
memo[n] = helper(memo, n - 1) + helper(memo, n - 2);
return memo[n];
}
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组
class Solution {
public int fib(int n) {
if (n <= 1) return n;
int[] dp = new int[n + 1];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int index = 2; index <= n; index++){
dp[index] = dp[index - 1] + dp[index - 2];
}
return dp[n];
}
}
int fib(int N) {
// 备忘录全初始化为 0
int[] memo = new int[N + 1];
// 进行带备忘录的递归
return helper(memo, N);
}
int helper(int[] memo, int n) {
// base case
if (n == 0 || n == 1) return n;
// 已经计算过，不用再计算了
if (memo[n] != 0) return memo[n];
memo[n] = helper(memo, n - 1) + helper(memo, n - 2);
return memo[n];
}
爬楼梯
// 常规方式
public int climbStairs(int n) {
int[] dp = new int[n + 1];
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
// 用变量记录代替数组
public int climbStairs(int n) {
int a = 0, b = 1, c = 0; // 默认需要1次
for (int i = 1; i <= n; i++) {
c = a + b; // f(i - 1) + f(n - 2)
a = b; // 记录上一轮的值
b = c; // 向后步进1个数
}
return c;
}
使用最小体力爬楼梯（746）
数组的每个下标作为一个阶梯，第 i 个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 cost[i]（下标从 0 开始）。
每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯。
请你找出达到楼层顶部的最低花费。在开始时，你可以选择从下标为 0 或 1 的元素作为初始阶梯。
class Solution {
public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
if (cost == null || cost.length == 0) {
return 0;
}
if (cost.length == 1) {
return cost[0];
}
int[] dp = new int[cost.length];
dp[0] = cost[0];
dp[1] = cost[1];
for (int i = 2; i < cost.length; i++) {
dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
//最后一步，如果是由倒数第二步爬，则最后一步的体力花费可以不用算
return Math.min(dp[cost.length - 1], dp[cost.length - 2]);
}
}
不同路径（62）
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
public static int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] dp = new int[m][n];
//初始化
for (int i = 0; i < m; i++) {
dp[i][0] = 1;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[0][i] = 1;
}
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
不同路径||（63）
有障碍
class Solution {
public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
int n = obstacleGrid.length, m = obstacleGrid[0].length;
int[][] dp = new int[n][m];
for (int i = 0; i < m; i++) {
if (obstacleGrid[0][i] == 1) break; //一旦遇到障碍，后续都到不了
dp[0][i] = 1;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (obstacleGrid[i][0] == 1) break; 一旦遇到障碍，后续都到不了
dp[i][0] = 1;
}
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
if (obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[n - 1][m - 1];
}
}
整数拆分（343）
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
class Solution {
public int integerBreak(int n) {
//dp[i] 为正整数 i 拆分后的结果的最大乘积
int[]dp=new int[n+1];
dp[2]=1;
for(int i=3;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i-j;j++){
// 这里的 j 其实最大值为 i-j,再大只不过是重复而已，
//并且，在本题中，我们分析 dp[0], dp[1]都是无意义的，
//j 最大到 i-j,就不会用到 dp[0]与dp[1]
dp[i]=Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
// j * (i - j) 是单纯的把整数 i 拆分为两个数 也就是 i,i-j ，再相乘
//而j * dp[i - j]是将 i 拆分成两个以及两个以上的个数,再相乘。
}
}
return dp[n];
}
}
不同的二叉树（96）
给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？
class Solution {
public int numTrees(int n) {
//初始化 dp 数组
int[] dp = new int[n + 1];
//初始化0个节点和1个节点的情况
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
//对于第i个节点，需要考虑1作为根节点直到i作为根节点的情况，所以需要累加
//一共i个节点，对于根节点j时,左子树的节点个数为j-1，右子树的节点个数为i-j
dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
}
}
return dp[n];
}
}
分割等和子集
给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
class Solution {
public boolean canPartition(int[] nums) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
sum += nums[i];
}
if (sum % 2 == 1)
return false;
int target = sum / 2;
//dp[i][j]代表可装物品为0-i，背包容量为j的情况下，背包内容量的最大价值
int[][] dp = new int[nums.length][target + 1];
//初始化,dp[0][j]的最大价值nums[0](if j > weight[i])
//dp[i][0]均为0，不用初始化
for (int j = nums[0]; j <= target; j++) {
dp[0][j] = nums[0];
}
//遍历物品，遍历背包
//递推公式:
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
for (int j = 0; j <= target; j++) {
//背包容量可以容纳nums[i]
if (j >= nums[i]) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i]] + nums[i]);
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
}
return dp[nums.length - 1][target] == target;
}
}
最后一块石头的重量||（1049）
有一堆石头，每块石头的重量都是正整数。
每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎； 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。 最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下，就返回 0
class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
int sum = 0;
for (int s : stones) {
sum += s;
}
int target = sum / 2;
//初始化，dp[i][j]为可以放0-i物品，背包容量为j的情况下背包中的最大价值
int[][] dp = new int[stones.length][target + 1];
//dp[i][0]默认初始化为0
//dp[0][j]取决于stones[0]
for (int j = stones[0]; j <= target; j++) {
dp[0][j] = stones[0];
}
for (int i = 1; i < stones.length; i++) {
for (int j = 1; j <= target; j++) {//注意是等于
if (j >= stones[i]) {
//不放:dp[i - 1][j] 放:dp[i - 1][j - stones[i]] + stones[i]
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - stones[i]] + stones[i]);
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
}
System.out.println(dp[stones.length - 1][target]);
return (sum - dp[stones.length - 1][target]) - dp[stones.length - 1][target];
}
}
class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
int sum = 0;
for (int i : stones) {
sum += i;
}
int target = sum >> 1;
//初始化dp数组
int[] dp = new int[target + 1];
for (int i = 0; i < stones.length; i++) {
//采用倒序
for (int j = target; j >= stones[i]; j--) {
//两种情况，要么放，要么不放
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
}
}
return sum - 2 * dp[target];
}
}
目标和（494）
给定一个非负整数数组，a1, a2, ..., an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。
返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。
class Solution {
public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) sum += nums[i];
if ((target + sum) % 2 != 0) return 0;
int size = (target + sum) / 2;
if(size < 0) size = -size;
int[] dp = new int[size + 1];
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
for (int j = size; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[size];
}
}
一和零（474）
给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。
请你找出并返回 strs 的最大子集的大小，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。
如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。
class Solution {
public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
//dp[i][j]表示i个0和j个1时的最大子集
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
int oneNum, zeroNum;
for (String str : strs) {
oneNum = 0;
zeroNum = 0;
for (char ch : str.toCharArray()) {
if (ch == '0') {
zeroNum++;
} else {
oneNum++;
}
}
//倒序遍历
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
}
零钱兑换||（518）
给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
class Solution {
public int change(int amount, int[] coins) {
//递推表达式
int[] dp = new int[amount + 1];
//初始化dp数组，表示金额为0时只有一种情况，也就是什么都不装
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
}
组合总和IV（377）
给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数。
class Solution {
public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
int[] dp = new int[target + 1];
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i <= target; i++) {
for (int j = 0; j < nums.length; j++) {
if (i >= nums[j]) {
dp[i] += dp[i - nums[j]];
}
}
}
return dp[target];
}
}
爬楼梯（进阶70）
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
int[] dp = new int[n + 1];
int[] weight = {1,2};
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j < weight.length; j++) {
if (i >= weight[j]) dp[i] += dp[i - weight[j]];
}
}
return dp[n];
}
}
零钱兑换（322）
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int max = Integer.MAX_VALUE;
int[] dp = new int[amount + 1];
//初始化dp数组为最大值
for (int j = 0; j < dp.length; j++) {
dp[j] = max;
}
//当金额为0时需要的硬币数目为0
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
//正序遍历：完全背包每个硬币可以选择多次
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
//只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
if (dp[j - coins[i]] != max) {
//选择硬币数目最小的情况
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
}
}
}
return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
}
}
完全平方数（279）
给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
class Solution {
// 版本一，先遍历物品, 再遍历背包
public int numSquares(int n) {
int max = Integer.MAX_VALUE;
int[] dp = new int[n + 1];
//初始化
for (int j = 0; j <= n; j++) {
dp[j] = max;
}
//当和为0时，组合的个数为0
dp[0] = 0;
// 遍历物品
for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
// 遍历背包
for (int j = i * i; j <= n; j++) {
if (dp[j - i * i] != max) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
}
}
}
return dp[n];
}
}
class Solution {
// 版本二， 先遍历背包, 再遍历物品
public int numSquares(int n) {
int max = Integer.MAX_VALUE;
int[] dp = new int[n + 1];
// 初始化
for (int j = 0; j <= n; j++) {
dp[j] = max;
}
// 当和为0时，组合的个数为0
dp[0] = 0;
// 遍历背包
for (int j = 1; j <= n; j++) {
// 遍历物品
for (int i = 1; i * i <= j; i++) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
}
}
return dp[n];
}
}
单词拆分（139）
给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词的列表 wordDict，判定 s 是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词。
class Solution {
public boolean wordBreak(String s, List wordDict) {
boolean[] valid = new boolean[s.length() + 1];
valid[0] = true;
for (int i = 1; i <= s.length(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (wordDict.contains(s.substring(j,i)) && valid[j]) {
valid[i] = true;
}
}
}
return valid[s.length()];
}
}
// 回溯法+记忆化
class Solution {
private Set set;
private int[] memo;
public boolean wordBreak(String s, List wordDict) {
memo = new int[s.length()];
set = new HashSet<>(wordDict);
return backtracking(s, 0);
}
public boolean backtracking(String s, int startIndex) {
// System.out.println(startIndex);
if (startIndex == s.length()) {
return true;
}
if (memo[startIndex] == -1) {
return false;
}
for (int i = startIndex; i < s.length(); i++) {
String sub = s.substring(startIndex, i + 1);
// 拆分出来的单词无法匹配
if (!set.contains(sub)) {
continue;
}
boolean res = backtracking(s, i + 1);
if (res) return true;
}
// 这里是关键，找遍了startIndex~s.length()也没能完全匹配，标记从startIndex开始不能找到
memo[startIndex] = -1;
return false;
}
}
打家劫舍（198）
你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。
给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。
// 动态规划
class Solution {
public int rob(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
if (nums.length == 1) return nums[0];
int[] dp = new int[nums.length];
dp[0] = nums[0];
dp[1] = Math.max(dp[0], nums[1]);
for (int i = 2; i < nums.length; i++) {
dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
}
return dp[nums.length - 1];
}
}
打家劫舍||（213）
你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警 。
给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 在不触动警报装置的情况下 ，能够偷窃到的最高金额。
class Solution {
public int rob(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0)
return 0;
int len = nums.length;
if (len == 1)
return nums[0];
return Math.max(robAction(nums, 0, len - 1), robAction(nums, 1, len));
}
int robAction(int[] nums, int start, int end) {
int x = 0, y = 0, z = 0;
for (int i = start; i < end; i++) {
y = z;
z = Math.max(y, x + nums[i]);
x = y;
}
return z;
}
}
打家劫舍|||（337）
在上次打劫完一条街道之后和一圈房屋后，小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为“根”。 除了“根”之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫，房屋将自动报警。
计算在不触动警报的情况下，小偷一晚能够盗取的最高金额。
class Solution {
// 1.递归去偷，超时
public int rob(TreeNode root) {
if (root == null)
return 0;
int money = root.val;
if (root.left != null) {
money += rob(root.left.left) + rob(root.left.right);
}
if (root.right != null) {
money += rob(root.right.left) + rob(root.right.right);
}
return Math.max(money, rob(root.left) + rob(root.right));
}
// 2.递归去偷，记录状态
public int rob1(TreeNode root) {
Map memo = new HashMap<>();
return robAction(root, memo);
}
int robAction(TreeNode root, Map memo) {
if (root == null)
return 0;
if (memo.containsKey(root))
return memo.get(root);
int money = root.val;
if (root.left != null) {
money += robAction(root.left.left, memo) + robAction(root.left.right, memo);
}
if (root.right != null) {
money += robAction(root.right.left, memo) + robAction(root.right.right, memo);
}
int res = Math.max(money, robAction(root.left, memo) + robAction(root.right, memo));
memo.put(root, res);
return res;
}
// 3.状态标记递归
// 不偷：Max(左孩子不偷，左孩子偷) + Max(又孩子不偷，右孩子偷)
// root[0] = Math.max(rob(root.left)[0], rob(root.left)[1]) +
// Math.max(rob(root.right)[0], rob(root.right)[1])
// 偷：左孩子不偷+ 右孩子不偷 + 当前节点偷
// root[1] = rob(root.left)[0] + rob(root.right)[0] + root.val;
public int rob3(TreeNode root) {
int[] res = robAction1(root);
return Math.max(res[0], res[1]);
}
int[] robAction1(TreeNode root) {
int res[] = new int[2];
if (root == null)
return res;
int[] left = robAction1(root.left);
int[] right = robAction1(root.right);
res[0] = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);
res[1] = root.val + left[0] + right[0];
return res;
}
}
买卖股票的最佳时机（121）
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0
// 解法1
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
if (prices == null || prices.length == 0) return 0;
int length = prices.length;
// dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益
// dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益
int[][] dp = new int[length][2];
int result = 0;
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = 0;
for (int i = 1; i < length; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);
}
return dp[length - 1][1];
}
}
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[] dp = new int[2];
// 记录一次交易，一次交易有买入卖出两种状态
// 0代表持有，1代表卖出
dp[0] = -prices[0];
dp[1] = 0;
// 可以参考斐波那契问题的优化方式
// 我们从 i=1 开始遍历数组，一共有 prices.length 天，
// 所以是 i<=prices.length
for (int i = 1; i <= prices.length; i++) {
// 前一天持有；或当天买入
dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i - 1]);
// 如果 dp[0] 被更新，那么 dp[1] 肯定会被更新为正数的 dp[1]
// 而不是 dp[0]+prices[i-1]==0 的0，
// 所以这里使用会改变的dp[0]也是可以的
// 当然 dp[1] 初始值为 0 ，被更新成 0 也没影响
// 前一天卖出；或当天卖出, 当天要卖出，得前一天持有才行
dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1]);
}
return dp[1];
}
}
买卖股票的最佳时机||
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
// 动态规划
class Solution
// 实现1：二维数组存储
// 可以将每天持有与否的情况分别用 dp[i][0] 和 dp[i][1] 来进行存储
// 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)
public int maxProfit(int[] prices) {
int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][2]; // 创建二维数组存储状态
dp[0][0] = 0; // 初始状态
dp[0][1] = -prices[0];
for (int i = 1; i < n; ++i) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]); // 第 i 天，没有股票
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]); // 第 i 天，持有股票
}
return dp[n - 1][0]; // 卖出股票收益高于持有股票收益，因此取[0]
}
}
// 优化空间
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[] dp = new int[2];
// 0表示持有，1表示卖出
dp[0] = -prices[0];
dp[1] = 0;
for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
// 前一天持有; 既然不限制交易次数，那么再次买股票时，要加上之前的收益
dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] - prices[i-1]);
// 前一天卖出; 或当天卖出，当天卖出，得先持有
dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i-1]);
}
return dp[1];
}
}
买卖股票的最佳时机IV
给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）
// 版本一: 三维 dp数组
class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
if (prices.length == 0) return 0;
// [天数][交易次数][是否持有股票]
int len = prices.length;
int[][][] dp = new int[len][k + 1][2];
// dp数组初始化
// 初始化所有的交易次数是为确保 最后结果是最多 k 次买卖的最大利润
for (int i = 0; i <= k; i++) {
dp[0][i][1] = -prices[0];
}
for (int i = 1; i < len; i++) {
for (int j = 1; j <= k; j++) {
// dp方程, 0表示不持有/卖出, 1表示持有/买入
dp[i][j][0] = Math.max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j][1] + prices[i]);
dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i]);
}
}
return dp[len - 1][k][0];
}
}
// 版本二: 二维 dp数组
class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
if (prices.length == 0) return 0;
// [天数][股票状态]
// 股票状态: 奇数表示第 k 次交易持有/买入, 偶数表示第 k 次交易不持有/卖出, 0 表示没有操作
int len = prices.length;
int[][] dp = new int[len][k*2 + 1];
// dp数组的初始化, 与版本一同理
for (int i = 1; i < k*2; i += 2) {
dp[0][i] = -prices[0];
}
for (int i = 1; i < len; i++) {
for (int j = 0; j < k*2 - 1; j += 2) {
dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}
}
return dp[len - 1][k*2];
}
}
//版本三：一维 dp数组
class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
if(prices.length == 0){
return 0;
}
if(k == 0){
return 0;
}
// 其实就是123题的扩展，123题只用记录2次交易的状态
// 这里记录k次交易的状态就行了
// 每次交易都有买入，卖出两个状态，所以要乘 2
int[] dp = new int[2 * k];
// 按123题解题格式那样，做一个初始化
for(int i = 0; i < dp.length / 2; i++){
dp[i * 2] = -prices[0];
}
for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i - 1]);
dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1]);
// 还是与123题一样，与123题对照来看
// 就很容易啦
for(int j = 2; j < dp.length; j += 2){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1] - prices[i-1]);
dp[j + 1] = Math.max(dp[j + 1], dp[j] + prices[i - 1]);
}
}
// 返回最后一次交易卖出状态的结果就行了
return dp[dp.length - 1];
}
}
买卖股票的最佳时|||
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票
// 版本一
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int len = prices.length;
// 边界判断, 题目中 length >= 1, 所以可省去
if (prices.length == 0) return 0;
int[][] dp = new int[len][5];
dp[0][1] = -prices[0];
// 初始化第二次买入的状态是确保 最后结果是最多两次买卖的最大利润
dp[0][3] = -prices[0];
for (int i = 1; i < len; i++) {
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i][1] + prices[i]);
dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i][2] - prices[i]);
dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i][3] + prices[i]);
}
return dp[len - 1][4];
}
}
// 版本二: 空间优化
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[] dp = new int[4];
// 存储两次交易的状态就行了
// dp[0]代表第一次交易的买入
dp[0] = -prices[0];
// dp[1]代表第一次交易的卖出
dp[1] = 0;
// dp[2]代表第二次交易的买入
dp[2] = -prices[0];
// dp[3]代表第二次交易的卖出
dp[3] = 0;
for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
// 要么保持不变，要么没有就买，有了就卖
dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i-1]);
dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0]+prices[i-1]);
// 这已经是第二次交易了，所以得加上前一次交易卖出去的收获
dp[2] = Math.max(dp[2], dp[1]-prices[i-1]);
dp[3] = Math.max(dp[3], dp[2]+ prices[i-1]);
}
return dp[3];
}
}
买卖股票的最佳时机含冷冻期（309）
给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
-
你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
-
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
if (prices == null || prices.length < 2) {
return 0;
}
int[][] dp = new int[prices.length][2];
// bad case
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
dp[1][0] = Math.max(dp[0][0], dp[0][1] + prices[1]);
dp[1][1] = Math.max(dp[0][1], -prices[1]);
for (int i = 2; i < prices.length; i++) {
// dp公式
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 2][0] - prices[i]);
}
return dp[prices.length - 1][0];
}
}
// 一维数组优化
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[] dp=new int[4];
dp[0] = -prices[0];
dp[1] = 0;
for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
// 使用临时变量来保存dp[0], dp[2]
// 因为马上dp[0]和dp[2]的数据都会变
int temp = dp[0];
int temp1 = dp[2];
dp[0] = Math.max(dp[0], Math.max(dp[3], dp[1]) - prices[i-1]);
dp[1] = Math.max(dp[1], dp[3]);
dp[2] = temp + prices[i-1];
dp[3] = temp1;
}
return Math.max(dp[3],Math.max(dp[1],dp[2]));
}
}
//另一种解题思路
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[][] dp = new int[prices.length + 1][2];
dp[1][0] = -prices[0];
for (int i = 2; i <= prices.length; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 2][1] - prices[i - 1]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i - 1]);
}
return dp[prices.length][1];
}
}
买卖股票的最佳时机含手续费
给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
int len = prices.length;
// 0 : 持股（买入）
// 1 : 不持股（售出）
// dp 定义第i天持股/不持股 所得最多现金
int[][] dp = new int[len][2];
dp[0][0] = -prices[0];
for (int i = 1; i < len; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i] - fee, dp[i - 1][1]);
}
return Math.max(dp[len - 1][0], dp[len - 1][1]);
}
public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
int len = prices.length;
// 0 : 持股（买入）
// 1 : 不持股（售出）
// dp 定义第i天持股/不持股 所得最多现金
int[][] dp = new int[len][2];
// 考虑买入的时候就支付手续费
dp[0][0] = -prices[0] - fee;
for (int i = 1; i < len; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i] - fee);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);
}
return Math.max(dp[len - 1][0], dp[len - 1][1]);
}
// 一维数组优化
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
int[] dp = new int[2];
dp[0] = -prices[0];
dp[1] = 0;
for (int i = 1; i <= prices.length; i++) {
dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] - prices[i - 1]);
dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1] - fee);
}
return dp[1];
}
}
最长递增子序列（300）
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
class Solution {
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
int[] dp = new int[nums.length];
Arrays.fill(dp, 1);
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
}
int res = 0;
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;
}
}
最长连续递增序列（674）
给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。
连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。
public static int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
int[] dp = new int[nums.length];
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
dp[i] = 1;
}
int res = 1;
for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++) {
if (nums[i + 1] > nums[i]) {
dp[i + 1] = dp[i] + 1;
}
res = res > dp[i + 1] ? res : dp[i + 1];
}
return res;
}
//贪心
public static int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
if (nums.length == 0) return 0;
int res = 1; // 连续子序列最少也是1
int count = 1;
for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++) {
if (nums[i + 1] > nums[i]) { // 连续记录
count++;
} else { // 不连续，count从头开始
count = 1;
}
if (count > res) res = count;
}
return res;
}
最长重复子数组（718）
给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度
// 版本一
class Solution {
public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
int result = 0;
int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
for (int i = 1; i < nums1.length + 1; i++) {
for (int j = 1; j < nums2.length + 1; j++) {
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
result = Math.max(result, dp[i][j]);
}
}
}
return result;
}
}
// 版本二: 滚动数组
class Solution {
public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
int[] dp = new int[nums2.length + 1];
int result = 0;
for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
for (int j = nums2.length; j > 0; j--) {
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[j] = dp[j - 1] + 1;
} else {
dp[j] = 0;
}
result = Math.max(result, dp[j]);
}
}
return result;
}
}
最长公共子序列（1143）
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串
class Solution {
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1]; // 先对dp数组做初始化操作
for (int i = 1 ; i <= text1.length() ; i++) {
char char1 = text1.charAt(i - 1);
for (int j = 1; j <= text2.length(); j++) {
char char2 = text2.charAt(j - 1);
if (char1 == char2) { // 开始列出状态转移方程
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[text1.length()][text2.length()];
}
}
不相交的线（1035）
我们在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 A 和 B 中的整数。
现在，我们可以绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且我们绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
class Solution {
public int maxUncrossedLines(int[] A, int[] B) {
int [][] dp = new int[A.length+1][B.length+1];
for(int i=1;i<=A.length;i++) {
for(int j=1;j<=B.length;j++) {
if (A[i-1]==B[j-1]) {
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
}
else {
dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
}
return dp[A.length][B.length];
}
}
最大子序和（53）
给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
public static int maxSubArray(int[] nums) {
if (nums.length == 0) {
return 0;
}
int res = nums[0];
int[] dp = new int[nums.length];
dp[0] = nums[0];
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
res = res > dp[i] ? res : dp[i];
}
return res;
}
判断子序列（392）
给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。
字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。
class Solution {
public boolean isSubsequence(String s, String t) {
int length1 = s.length(); int length2 = t.length();
int[][] dp = new int[length1+1][length2+1];
for(int i = 1; i <= length1; i++){
for(int j = 1; j <= length2; j++){
if(s.charAt(i-1) == t.charAt(j-1)){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
}else{
dp[i][j] = dp[i][j-1];
}
}
}
if(dp[length1][length2] == length1){
return true;
}else{
return false;
}
}
}
不同的子序列（115）
给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。
字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是）
class Solution {
public int numDistinct(String s, String t) {
int[][] dp = new int[s.length() + 1][t.length() + 1];
for (int i = 0; i < s.length() + 1; i++) {
dp[i][0] = 1;
}
for (int i = 1; i < s.length() + 1; i++) {
for (int j = 1; j < t.length() + 1; j++) {
if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
}else{
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
}
return dp[s.length()][t.length()];
}
}
两个字符串的删除操作（583）
给定两个单词 word1 和 word2，找到使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数，每步可以删除任意一个字符串中的一个字符。
class Solution {
public int minDistance(String word1, String word2) {
int[][] dp = new int[word1.length() + 1][word2.length() + 1];
for (int i = 0; i < word1.length() + 1; i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j < word2.length() + 1; j++) dp[0][j] = j;
for (int i = 1; i < word1.length() + 1; i++) {
for (int j = 1; j < word2.length() + 1; j++) {
if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}else{
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1] + 2,
Math.min(dp[i - 1][j] + 1,
dp[i][j - 1] + 1)
);
}
}
}
return dp[word1.length()][word2.length()];
}
}
编辑距离（72）
给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
public int minDistance(String word1, String word2) {
int m = word1.length();
int n = word2.length();
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
// 初始化
for (int i = 1; i <= m; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 1; j <= n; j++) {
dp[0][j] = j;
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
// 因为dp数组有效位从1开始
// 所以当前遍历到的字符串的位置为i-1 | j-1
if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j - 1],
dp[i][j - 1]),
dp[i - 1][j]
) + 1;
}
}
}
return dp[m][n];
}
回文子串(647)
给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。
具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
int len, ans = 0;
if (s == null || (len = s.length()) < 1) return 0;
//dp[i][j]：s字符串下标i到下标j的字串是否是一个回文串，即s[i, j]
boolean[][] dp = new boolean[len][len];
for (int j = 0; j < len; j++) {
for (int i = 0; i <= j; i++) {
//当两端字母一样时，才可以两端收缩进一步判断
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
//i++，j--，即两端收缩之后i,j指针指向同一个字符或者i超过j了,必然是一个回文串
if (j - i < 3) {
dp[i][j] = true;
} else {
//否则通过收缩之后的字串判断
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
}
} else {//两端字符不一样，不是回文串
dp[i][j] = false;
}
}
}
//遍历每一个字串，统计回文串个数
for (int i = 0; i < len; i++) {
for (int j = 0; j < len; j++) {
if (dp[i][j]) ans++;
}
}
return ans;
}
}
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
int len, ans = 0;
if (s == null || (len = s.length()) < 1) return 0;
//总共有2 * len - 1个中心点
for (int i = 0; i < 2 * len - 1; i++) {
//通过遍历每个回文中心，向两边扩散，并判断是否回文字串
//有两种情况，left == right，right = left + 1，这两种回文中心是不一样的
int left = i / 2, right = left + i % 2;
while (left >= 0 && right < len && s.charAt(left) == s.charAt(right)) {
//如果当前是一个回文串，则记录数量
ans++;
left--;
right++;
}
}
return ans;
}
}
最长回文子序列（516）
给定一个字符串 s ，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000 。
public class Solution {
public int longestPalindromeSubseq(String s) {
int len = s.length();
int[][] dp = new int[len + 1][len + 1];
for (int i = len - 1; i >= 0; i--) { // 从后往前遍历 保证情况不漏
dp[i][i] = 1; // 初始化
for (int j = i + 1; j < len; j++) {
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j],
Math.max(dp[i][j], dp[i][j - 1]));
}
}
}
return dp[0][len - 1];
}
}
参考资料：carl的代码随想录
