错排问题详解

又叫错位排列、重排，即使一个排列所有的元素都不在原来的位置上。

错排问题是组合数学发展史上的一个重要问题，错排数也是一项重要的数。令 a k ( 1 ≤ k ≤ n ) { a_k } ( 1 leq k leq n ) ak​(1≤k≤n) 是 $ n , n epsilon N $ 的一个错排，如果每个元素都不在其对应下标的位置上，即 $ a_k neq k$ ，那么这种排列称为错位排列，或错排、重排（Derangement）。
————————摘自《百度百科》

我们来看一个最为经典的错排问题，信封问题：共有 n n n 张信和 n n n 个信封，假设所有信都装错了信封，共有多少种情况？

我们先定义 f ( n ) f(n) f(n) 为当有 n n n 个信封和 n n n 张信时，有 f ( n ) f(n) f(n) 种错排方案。

当 n = 1 n = 1 n=1 时，信只能放在它对应的信封中，不可能出现错排情况。

故 f ( 1 ) = 0 f(1) = 0 f(1)=0。

当 n = 2 n = 2 n=2 时，只存在一种情况，即两张信交换位置。

故 f ( 2 ) = 1 f(2)=1 f(2)=1。

当 n = 3 n = 3 n=3 时，存在着 3 、 1 、 2 3、1、2 3、1、2 和 2 、 3 、 1 2、3、1 2、3、1 两种情况，我们可以将其看为 1 与 2 错排，3 与 1、2 交换位置得来的。

故 f ( 3 ) = 2 f(3)=2 f(3)=2。

当 n = 4 n = 4 n=4 时，错排有：

4 3 2 1，4 1 2 3，4 3 1 2，

//第一列是 4 4 4 分别与 123 123 123 互换位置，其余两个元素错排。

3 4 1 2，3 4 2 1，2 4 1 3，

//第二列是 4 4 4 分别与 312 312 312（ 123 123 123 的一个错排）的每一个数互换

2 1 4 3，3 1 4 2，2 3 4 1。

//第三列则是由另一个错排 231 231 231 和 4 4 4 换位而得到

共 9 9 9 种情况。

根据上面的注释得知， f ( n ) f(n) f(n) 的值与 f ( n − 1 ) f(n-1) f(n−1) 、 f ( n − 2 ) f(n-2) f(n−2) 的值有一定的关联。

那我们能否得出递推式呢？答案是肯定的。

1 1 1 号元素必定要排在第 2 ∼ n 2sim n 2∼n 个位置的其中之一，所以有 n − 1 n-1 n−1 种放法。

假设 1 1 1 号元素放在了第 k k k 个位置，那么下一步就要排 k k k 号元素。

k k k 号元素的排列有两种方式：

一是放在第 1 1 1 个位置，剩下的 n − 2 n-2 n−2 个元素进行错排，共有 f ( n − 2 ) f(n-2) f(n−2) 种可能；

二是不放在第 1 1 1 个位置，这时我们将第 1 1 1 个位置看作第 k k k 个位置，于是就形成了包括 k k k 号元素在内的 n − 1 n-1 n−1 个元素的错排，共有 f ( n − 1 ) f(n-1) f(n−1) 种可能。

所以， k k k 号元素共有 f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) f(n-1)+f(n-2) f(n−1)+f(n−2) 种可能。

又因为第一号元素有 n − 1 n-1 n−1 种放法，根据乘法原理。

递推式为：

f ( n ) = ( n − 1 ) × ( f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ) f(n) =(n-1) times (f(n-1)+f(n-2) ) f(n)=(n−1)×(f(n−1)+f(n−2))。

以上就是基础错排问题的全部内容了（当然只是基础部分的全部内容）

这是一道模板题，只要你知道递推式便可以做对。此题也可以使用深度优先搜索来 AC 掉这道题。

不过需要注意的是，错排方案的增长非常快。
n = 13 n = 13 n=13 时 i n t int int 会爆掉， n = 22 n = 22 n=22 时 f ( n ) f(n) f(n) 的值就已经达到了约 7 × 1 0 18 7times 10^{18} 7×1018 , 在 n = 23 n = 23 n=23 时 l o n g long long l o n g long long 会爆掉。

也就是说，在处理错排问题时一定要开 l o n g long long l o n g long long。

当题目给出 n > 20 n > 20 n>20 的范围时，我们就应该使用高精度算法了（Python、Java等略过）。

#include
#include

using namespace std;

long long f(long long x)//一定要开long long
{
	if( x == 1 )
		return 0;
	else if( x == 2 )
		return 1;
	else
		return (x-1)*(f(x-1)+f(x-2));
}

int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	cout< 
P3182 [HAOI2016]放棋子 
这道题也是一道裸错排题，不过数据到了 
    
     
      
       
        200
       
      
      
       200
      
     
    200 ，必定需要高精度。
 
留作读者练习用吧。