- 基于阈值控制的一种改进鲸鱼算法
- 1.鲸鱼优化算法
- 2. 改进鲸鱼优化算法
- 2.1 基于均匀分布空间与伪反向学习策略的种群初始化
- 2.2 基于正态变异的择优选择
- 2.3 基于正弦函数的螺旋更新位置
- 2.4基于正弦函数的螺旋更新位置
- 2.5 引入阈值判断函数是否达到局部最优解
- 3.实验结果
- 4.参考文献
- 5.Matlab代码
- 6.Python代码
摘要： 针对鲸鱼算法在迭代后期种群多样性减少问题,本文提出一种基于阈值控制的改进鲸鱼优化算法（简记为TIWOA）,将均匀分布空间与伪反向学习策略相结合,对原始种群位置进行初始化,为全局搜索奠定基础;改进了基于正态变异算子的选择种群方案,增加了局部搜索速度;设计了非线性收敛因子,配合改进的基于正弦函数的螺旋位置更新,使算法在迭代后期有更好的全局搜索能力。 1.鲸鱼优化算法
基础鲸鱼算法的具体原理参考，我的博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/107559167
2. 改进鲸鱼优化算法 2.1 基于均匀分布空间与伪反向学习策略的种群初始化对于启发式智能优化算法来说, 初始迭代点的好坏往 往影响着收敛的速度与精度
า
า
า ר 。原始 WOA算法在初始 化种群个体时使用了随机方法, 使用这种随机方法求解一 个多峰函数时, 若生成的初始种群相对集中在某个区域或 者分散在离最优点较远的峰, 则通过算法进行计算, 很可 能得到局部最优解。因此, 在初始点的选择上, 应尽可能 分布在不同维数的各个位置, 最大程度地提取求解函数中 的信息, 保障初始点的多样性。基于以上考虑, 结合对立 学习策略, 提出了一种均匀分布空间的种群个体随机方 法, 尽可能地将初始点均匀分布在可行域的空间里。具体 方法如下：
令求解函数可行域中, 每个维数的上确界集合为 ub
=
[
u
b
1
,
u
b
2
,
⋯
,
u
b
d
]
=left[u b_{1}, u b_{2}, cdots, u b_{d}right]
=[ub1,ub2,⋯,ubd], 下确界集合为
l
b
=
[
l
b
1
,
l
b
2
,
⋯
mathrm{lb}=left[mathrm{lb}_{1}, mathrm{lb}_{2}, cdotsright.
lb=[lb1,lb2,⋯,
1
b
d
]
left.1 mathrm{~b}_{d}right]
1 bd], 则根据均匀分布空间初始化种群的方法, 第
i
i
i 只鯨 鱼的第
j
j
j 维的位置初始化公式如下所示：
X
i
′
=
(
R
N
U
M
i
−
1
)
×
(
u
b
j
−
1
b
j
)
N
+
rand
(
0
,
u
b
j
−
1
b
j
N
)
(8)
X_{i}^{prime}=left(mathrm{RNUM}_{i}-1right) times frac{left(mathrm{ub}_{j}-1 mathrm{~b}_{j}right)}{N}+operatorname{rand}left(0, frac{mathrm{ub}_{j}-1 mathrm{~b}_{j}}{N}right) tag{8}
Xi′=(RNUMi−1)×N(ubj−1 bj)+rand(0,Nubj−1 bj)(8)
R
N
U
M
=
r
a
n
d
p
e
r
m
(
N
U
M
)
(9)
RNUM =randperm(NUM) tag{9}
RNUM=randperm(NUM)(9)
其中,
rand
(
a
,
b
)
operatorname{rand}(a, b)
rand(a,b) 表示生成
a
a
a 到
b
b
b 之间的随机数,
N
U
M
=
mathrm{NUM}=
NUM=
[
N
U
M
1
,
N
U
M
2
,
⋯
,
N
U
M
N
]
left[mathrm{NUM}_{1}, mathrm{NUM}_{2}, cdots, mathrm{NUM}_{N}right]
[NUM1,NUM2,⋯,NUMN] 表示从 1 到种群个体总数
N
N
N 的整数组成的数组, 其中
N
U
M
i
=
i
mathrm{NUM}_{i}=i
NUMi=i, randpcrm(NUM) 表 示将数组 NUM 中元萦的顺序随机打乱, 进行重新排列, 重新排列后的数组记为
R
N
U
M
=
[
R
N
U
M
1
,
R
N
U
M
N
2
,
⋯
mathrm{RNUM}=left[mathrm{RNUM}_{1}, mathrm{RNUM} mathrm{N}_{2}, cdotsright.
RNUM=[RNUM1,RNUMN2,⋯,
R
N
U
M
N
]
left.mathrm{RNUM}_{N}right]
RNUMN], 数组 RNUM 依然是由 1 到
N
N
N 的整数组成。 利用这样的方式, 能够将每个维数的可行域等分成
N
N
N 个 小区间, 每只鲸鱼个体在随机不重复的在一个小区间上随 机取点, 这样使得初始点在每个维数上的取点更加均匀, 很大程度上减少算法得到局部最优解的概率。
对立学习策略 (opposition-based learning, OBL )
−
177
{ }^{-177}
−177 是 近年来智能算法领域的一种新技术, 在 PSO 算法等智能 算法中成功应用后, 龙文等 已将该方法用于
W
O
∧
W O wedge
WO∧ 算 法, 使得初始点的质量有了明显的提高, 但该方案在作用 域对称时, 对立学习的效果会有所淢弱。因此为了提高对 立学习的能力, 黄元春等在改进标准对立学习策略后, 提 出了伪反向学习策略的种群初始化方案
−
187
{ }^{-187}
−187, 具体步叕如 T:
在利用均匀分布空间的方法随机得到了第
i
i
i 只鲸鱼 在可行域内的位置
X
i
=
(
X
i
1
,
X
i
2
,
⋯
,
X
i
d
)
,
i
=
1
,
2
,
⋯
X_{i}=left(X_{i}^{1}, X_{i}^{2}, cdots, X_{i}^{d}right), i=1,2, cdots
Xi=(Xi1,Xi2,⋯,Xid),i=1,2,⋯,
N
N
N, 其中
d
d
d 为维数, 则第
i
i
i 只鲸鱼伪反向个体
X
ˉ
i
=
(
X
ˉ
i
⊤
bar{X}_{i}=left(bar{X}_{i}^{top}right.
Xˉi=(Xˉi⊤,
X
ˉ
i
2
,
⋯
,
X
ˉ
i
d
bar{X}_{i}^{2}, cdots, bar{X}_{i}^{d}
Xˉi2,⋯,Xˉid ) 的计算公式如下：
X
~
i
j
=
u
b
+
l
b
−
X
i
j
,
j
=
1
,
2
,
⋯
,
d
(10)
tilde{X}_{i}^{j}=u b+l b-X_{i}^{j}, quad j=1,2, cdots, d tag{10}
X~ij=ub+lb−Xij,j=1,2,⋯,d(10)
X
ˉ
i
j
=
{
rand
(
M
j
,
X
~
i
j
)
,
X
i
j
≤
M
j
rand
(
X
~
i
j
,
M
j
)
,
X
i
j
>
M
j
(11)
begin{gathered} bar{X}_{i}^{j}=left{begin{array}{l} operatorname{rand}left(M_{j}, widetilde{X}_{i}^{j}right), X_{i}^{j} leq M_{j} \ operatorname{rand}left(tilde{X}_{i}^{j}, M_{j}right), X_{i}^{j}>M_{j} end{array}right. end{gathered}tag{11}
Xˉij=⎩
⎨
⎧rand(Mj,X
ij),Xij≤Mjrand(X~ij,Mj),Xij>Mj(11)
其中,
M
j
=
0.5
(
u
b
−
l
b
)
,
rand
(
X
~
i
j
,
M
j
)
M_{j}=0.5(mathrm{ub}-mathrm{lb}), operatorname{rand}left(tilde{X}_{i}^{j}, M_{j}right)
Mj=0.5(ub−lb),rand(X~ij,Mj) 表示
(
X
~
i
j
,
M
j
)
left(widetilde{X}_{i}^{j}, M_{j}right)
(X
ij,Mj) 内 的随机数。由均匀分布空间与伪反向学习策略初始化种群算法步聚如下:
正态变异算子 作为一种常见的智能算法干扰方 式, 在迭代前期会加快捜寻最优解的速度, 在迭代后期, 种 群的个体不断向最优个体集中, 导致种群多样性的减少, 利用正态变异算子可以丰富种群的多样性。通过该变异 方案与搜索包围机制, 螺旋更新位置结合, 可以在提高局 部搜索能力的同时,提高全局搜索范围,极大地提高搜寻 到最优解的概率和精度。
在之前的改进中, 钟明辉 等 将正态变异算子应用 于每次迭代后的最优个体, 本算法中的正态变异算子将推 广到对每个个体, 并且将变异后的个体与原个体的适应度 进行比较, 并且择优选择适应度小的个体代替当前个体进 人下一次迭代。再进过分析, 择优选择的方法会减弱全局 捜索能力, 故在全局搜寻阶段, 直接选择变异后的个体作 为当前个体, 不进行择优选择, 故第
i
i
i 只鲸鱼的第
j
j
j 维的 正态变异计算公式如下：
X
ˉ
i
j
=
X
i
j
+
N
(
0
,
1
)
⋅
X
i
j
(12)
bar{X}_{i}^{j}=X_{i}^{j}+N(0,1) cdot X_{i}^{j} tag{12}
Xˉij=Xij+N(0,1)⋅Xij(12)
选择变异前后的最优个体作为进人下一次迭代的个体, 其 计算公式如下:
X
i
+
1
=
{
f
−
1
(
min
(
f
(
X
i
)
,
f
(
X
ˉ
2
)
)
)
,
f
(
X
i
(
t
)
)
−
f
(
X
i
(
t
−
s
)
)
≠
0
X
ˉ
i
,
f
(
X
i
(
t
)
)
−
f
(
X
i
(
t
−
s
)
)
=
0
(13)
X_{i+1}=left{begin{array}{c} f^{-1}left(min left(fleft(X_{i}right), fleft(bar{X}_{2}right)right)right), \ fleft(X_{i}(t)right)-fleft(X_{i}(t-s)right) neq 0 \ bar{X}_{i}, quad fleft(X_{i}(t)right)-fleft(X_{i}(t-s)right)=0 end{array}right. tag{13}
Xi+1=⎩
⎨
⎧f−1(min(f(Xi),f(Xˉ2))),f(Xi(t))−f(Xi(t−s))=0Xˉi,f(Xi(t))−f(Xi(t−s))=0(13)
其中,
N
(
0
,
1
)
N(0,1)
N(0,1) 表示均值为 0 , 方差为 1 的标准正态分布,
f
(
X
)
f(X)
f(X) 表示个体
X
X
X 的适应度,
f
−
1
(
min
(
X
,
Y
)
)
f^{-1}(min (X, Y))
f−1(min(X,Y)) 表示选择 适应度最小的
X
X
X 或
Y
,
s
Y, s
Y,s 表示阈值, 阈值的作用是为了检 验算法是否能够继续提高局部捜索的精度。
X
i
(
t
)
X_{i}(t)
Xi(t) 䘚示当 前个体第
t
mathrm{t}
t 次迭代后的位置, 若
f
(
X
i
(
t
)
)
−
f
(
X
i
(
t
−
s
)
)
fleft(X_{i}(t)right)-fleft(X_{i}(t-s)right)
f(Xi(t))−f(Xi(t−s))
≠
0
neq 0
=0, 表示算法依然在有效的搜寻最优点以及提高局部搜 索的精度; 否则,说明算法在该局部的精度可能达到当前 算法方案的极限, 需要提高局部搜索和全局搜索能力。阈 值的取值林当重要, 若阈值太大, 则订算达到算法的极限 精度时,需要经过
s
s
s 次迭代后, 才能检测到计算达到该精 度。
在
W
O
∧
W O wedge
WO∧ 算法中,螺旋更新位置是一种不断靠近当前 最优个体, 并且在最优个体附近进行捜索的方法。若陷人 局部最优解, 仅仅通过正态变异算子进行干扰很难跳出局 部最优解, 相对于
W
∧
∧
mathrm{W} wedge wedge
W∧∧ 算法的收缩包围机制, 根据
∣
A
∣
|A|
∣A∣ 值可以向最优点进行局部搜索, 或者向随机点进行全局搜 索。根据上述思路, 吴泽忠等提出了一种基于正弦函数螺 旋更新位置的方案
−
137
{ }^{-137}
−137, 这种方法使得最优点可以向当前 迭代点进行包围搜索, 加强其全局搜索能力, 并且正弦函 数也能提高局部搜索的精度, 但是减弱了前期的收敛速 度。结合以上方案, 在保证收敛速度的前提下, 希望能在 局部搜索时对精度有更好的探索, 则改进的基于正弦函数 的螺旋更新位置计算公式为：
X
i
j
(
t
)
=
{
D
˙
′
e
b
l
cos
(
2
π
l
)
+
X
∗
(
t
)
,
f
(
X
∗
(
t
)
)
−
f
(
X
∗
(
t
−
s
)
)
≠
0
D
˙
′
e
b
l
cos
(
2
π
l
)
+
X
i
j
(
t
)
+
sin
(
X
i
j
(
t
)
)
f
(
X
∗
(
t
)
)
−
f
(
X
∗
(
t
−
s
)
)
=
0
(14)
X_{i}^{j}(t)=left{begin{array}{r} dot{D}^{prime} e^{b l} cos (2 pi l)+X^{*}(t), \ fleft(X^{*}(t)right)-fleft(X^{*}(t-s)right) neq 0 \ dot{D}^{prime} e^{b l} cos (2 pi l)+X_{i}^{j}(t)+sin left(X_{i}^{j}(t)right) \ fleft(X^{*}(t)right)-fleft(X^{*}(t-s)right)=0 end{array}right. tag{14}
Xij(t)=⎩
⎨
⎧D˙′eblcos(2πl)+X∗(t),f(X∗(t))−f(X∗(t−s))=0D˙′eblcos(2πl)+Xij(t)+sin(Xij(t))f(X∗(t))−f(X∗(t−s))=0(14)
其中,
D
˙
′
=
∣
X
i
(
t
)
−
X
∗
(
t
)
∣
dot{D}^{prime}=left|X_{i}(t)-X^{*}(t)right|
D˙′=∣Xi(t)−X∗(t)∣ 表示第
i
i
i 条鲸鱼到当前最优 个体的直线距离。
s
s
s 表示阈值, 其数值与公式(13)相同。 当算法依然在有效地提高局部搜索的精度时, 利用基本 woa算法的螺旋更新位置进行搜索; 当在该局部的精度 可能达到当前算法方案的极限时, 利用改进的基于正弦函 数的螺旋更新位置进行搜索。
本文提出的
T
I
W
O
Λ
mathrm{TIWO Lambda}
TIWOΛ 算法, 通过正态变异算子, 基于 正弦函数的螺旋更新位置两种方案, 提高了后期的局部搜 索能力与全㟃搜索能力。通过实验发现由于前期迭代收 敛较快, 导致了随机搜索方法 (式 (7))更难得到适应度更 优的个体, 所以在前期迭代应使收敛因子
a
a
a 大于 1 , 并且 快速减少到 1 以下, 故在 TIWOA算法中, 设计了一种收 敛因子
a
a
a 非线性从 2 减少到
0.5
,
a
0.5, a
0.5,a 减小的速度先快后 慢, 这样的设计使得前期能进行全局搜索的同时, 加快局 部捜索的速度,得到改进的非线性收敛因子公式为：
T
=
f
l
o
o
r
(
t
max
/
50
)
(16)
T=f l o o rleft(t_{max } / 50right) tag{16}
T=floor(tmax/50)(16) TIWOA 算法利用阈值
p
p
p 来判断算法是否达到了局部最优 解, 判断的方式如下: [1]黄飞,吴泽忠.基于阈值控制的一种改进鲸鱼算法[J].系统工程,2020,38(02):133-148.
a
=
{
(
t
−
1
T
−
1
)
2
+
1
,
1
≤
t
≤
T
1
2
(
t
−
T
−
1
t
max
−
T
−
1
)
2
+
0.5
,
T
<
t
≤
t
max
(15)
a= begin{cases}left(frac{t-1}{T-1}right)^{2}+1, & 1 leq t leq T \ frac{1}{2}left(frac{t-T-1}{t_{max }-T-1}right)^{2}+0.5, & T
其中, floor
(
x
)
(x)
(x) 表示对
x
x
x 向下取整, 即不大于
x
x
x 的整数。 这里的
T
T
T 值为收敛因子
a
a
a 的分界线,当迭代次数小于
T
T
T 时, 收敛因子
a
>
1
a>1
a>1; 当迭代次数大于
T
T
T 时, 收敛因子
a
<
a<
a< 1.
P
=
{
1
,
f
(
X
∗
(
t
)
)
−
f
(
X
∗
(
t
−
p
)
)
≠
0
0
,
f
(
X
∗
(
t
)
)
−
f
(
X
∗
(
t
−
p
)
)
=
0
(17)
P= begin{cases}1, & fleft(X^{*}(t)right)-fleft(X^{*}(t-p)right) neq 0 \ 0, & fleft(X^{*}(t)right)-fleft(X^{*}(t-p)right)=0end{cases} tag{17}
P={1,0,f(X∗(t))−f(X∗(t−p))=0f(X∗(t))−f(X∗(t−p))=0(17)
其中,
P
=
1
P=1
P=1 时,算法根据式 (13)、式 (11)的判断条件来执 行对应的等式, 若
P
=
0
P=0
P=0 时, 式 (13)、式 (11) 的判断条件强 制失效, 并强行执行情况(2)的方案。这样的改进能够更 好地调整算法方案, 增加迭代速度与求解精度。
