目录
1.1 集中趋势
众数
中位数
四分位数
算术平均数
调和平均数
几何平均数
1.2 离中趋势
极差
四分位数间距
方差
(1) 总体方差
(2) 样本方差
标准差
(1) 总体标准差
(2) 样本标准差
变异系数
1.3 偏度与峰度
偏度
峰度
数据分布的特征
1、集中趋势:各数据向中心值靠拢或聚集的程度;【平均数、中位数、四分位数、众数】
2、离散程度:各数据远离其中心值的趋势;【极差、四分位差、方差、标准差、离散系数】
3、分布形状:数据分布偏斜程度和峰度【偏态系数、峰态系数】
1.1 集中趋势
众数
不受数据极端值的影响，可能不存在也可能存在多个。一般只有数据量较大时才有意义。
虽然不受极端值影响，但不稳定，受分组和样本变动的影响较大，反应也不够灵敏，不能做进一步代数运算。
Python代码: scipy.stats.mode
scipy.stats.mode(a, axis=0, nan_policy="propagate")
中位数
中位数计算简单，不受极端值影响。由于中位数受制于全体数据，反应不够灵敏，且不能做进一步的代数运算。中位数不能用于分类数据。
Python代码: np.median
np.median(a, axis=None, out=None, overwrite_input=False, keepdims=False)
四分位数
位于 25% 位置的数据为下四分位数；位于 75% 位置的数据为上四分位数。
Python代码:
- 求分位数对应的元素: scipy.stats.scoreatpercentile(a, per, interpolation_method)
- 求元素所处的分位数: scipy.stats.percentileofscore(a, score, kind)
scipy.stats.scoreatpercentile(a, 25, interpolation_method="fraction") scipy.stats.percentileofscore(a, 83.25, kind="rank")
算术平均数
算术平均数的计算方式如下
对于加权数据计算的算术平均数称为加权算术平均数。各个数据的权重为 f1, f2, …, fn，加权算术平均数的公式如下
算术平均数反应灵敏，可以进行代数运算。
但是对于极端值很敏感，如果数据中存在极端值，或者数据是偏度分布的，那么均值不能很好地度量数据的集中趋势。
Python代码:
- scipy.stats.tmean(a, limits, axis)
- np.mean(a, axis)
scipy.stats.tmean(a, limits=None, inclusive=(True, True), axis=None) np.mean(a, axis=0)
调和平均数
调和平均数的计算方式如下
对于加权数据计算的调和平均数称为加权调和平均数，各个数据的权重为 f1, f2, …, fn
Python代码: scipy.stats.hmean(a, axis)
scipy.stats.hmean(a, axis=0, dtype=None)
几何平均数
几何平均数的计算方式如下
几何平均数主要用于计算平均比率，当变量本身是比率的形式时，用几何平均值计算平均比率更合理。例如计算平均增长率。
Python代码: scipy.stats.gmean
scipy.stats.gmean(a, axis=0)
1.2 离中趋势
离中趋势是指一组数据中各数据值以不同程度的距离偏离数据中心(平均值)的趋势。
离散程度越大，集中趋势的值对该组数据的代表性越差。
极差
易受极端值影响，且不能反映数据的中间分布情况。
Python代码: np.ptp
np.ptp(a)
四分位数间距
反应一组数据中间 50% 数据的离散程度。也在一定程度上反映了中位数对一组数据的代表程度。不受极端值的影响。
Python代码:
scipy.stats.scoreatpercentile(a, 75) - scipy.stats.scoreatpercentile(a, 25)
方差
(1) 总体方差
总体方差的计算方式如下
对于加权数据计算的方差称为加权方差，各个数据的权重为 f1, f2, …, fn
Python代码: np.var
np.var(a, axis=None, ddof=0)
(2) 样本方差
样本方差的计算方式如下
对于加权数据计算的方差称为加权方差，各个数据的权重为 f1, f2, …, fn
Python代码: scipy.stats.tvar
scipy.stats.tvar(a, limits=None, inclusive(True, True), axis=0, ddof=1)
标准差
(1) 总体标准差
Python代码: np.std
np.std(a, axis=None, out=None, ddof=0)
(2) 样本标准差
Python代码: scipy.stats.tstd
scipy.stats.tstd(a, limits=None, inclusive=(True, True), axis=0, ddof=1)
变异系数
极差，方差，标准差都是有计量单位的。
如果要比较不同数据的离散程度，需要用变异系数。
变异系数是一组数据中的极差、四分位差或标准差等离散指标与算术平均数的比率。
例如样本标准差变异系数
Python代码
scipy.stats.tstd(a) / scipy.stats.tmean(a)
1.3 偏度与峰度
了解集中趋势和离散趋势后，还需要了解数据分布的形状是否对称、倾斜，扁平程度。
偏度
偏度是对分布倾斜方向及程度的测度。
偏度的方向相对简单，可以利用众数、中位数、均值之间的关系判断是左偏还是右偏。但是大小还是要借助偏度系数。
偏度系数有很多计算方法，下面是比较常用的一种
偏度系数为正则是右偏，为负则是左偏。
Python代码: scipy.stats.skew
scipy.stats.skew(a, axis=0, bias=True, nan_policy="propagate")
峰度
峰度描述的是分布集中趋势高峰的形态，通常与标准正态分布相比较。
在归一化到同一方差时，若分布的形状比标准正态分布更瘦高，则称为尖峰分布，若分布的形状比标准正态分布更矮胖，则称为平峰分布。
峰度系数的计算公式如下
当峰度系数为 0 则为标准正态分布，大于 0 为尖峰分布，小于 0 为平峰分布。
Python代码: scipy.stats.kurtosis
scipy.stats.kurtosis(a, axis=0, fisher=True, bias=True, nan_policy="propagate")
参考文献：https://www.zhihu.com/question/287549457/answer/2251550485
