深入理解heap

• binary heap
• heap算法
• • push_heap算法
  • pop_heap算法

binary heap是一种complete binary tree(完全二叉树),也就是说，整棵binary tree除了最底层的叶节点之外，是填满的，而最底层的叶节点由左到右又不得有空隙，如图所示：

complete binary tree整棵树内没有任何节点漏洞，这带来一个极大的好处：我们可以利用array来存储所有节点，假设动用一个小技巧，将array的#0元素保留，那么当complete binary tree中的某个节点位于array的i处时，其左节点必位于array的2i处，其右节点必位于array的2i+1处，其父节点必位于i/2处(此处的"/‘’权且代表高斯符号，取其整数),这种通过array表述tree的方式，我们称为隐式表述法
array的缺点是无法动态改变大小，以vector代替array是更好的选择
根据元素排列方式，heap可分为max—heap和min—heap两种，前者每个节点的键值都大于或等于其子节点键值，后者的每个节点键值都小于或等于其子节点键值

下图所示的是push_heap算法的实际操演情况，为了满足complete binary tree的条件，新加入的元素一定要放在最下一层作为叶节点，并填补在由左至右的第一个空格，也就是把新元素插入在底层vector的end()处

新元素是否适用于其现有位置？为满足max-heap的条件，我们执行一个所谓的percolate up(上溯)程序，将新节点拿来与其父节点比较，如果其键值比父节点大，就父子对换位置，如此一直上溯，直到不需对换或直到根结点为止
下面是算法的实现细节：

template
void _push_heap(RandomAccessIterator first,Distance holeIndex,Distance topIndex,T value)
{
	Distance parent=(holdIndex-1)/2;//找出父节点
	while(holeIndex>topIndex&&*(first+parent)
		//当尚未到达顶端，且父节点小于新值
		//由于以上使用operator<.可知STL heap是一种max-heap
		*(first+holeIndex)=*(first+parent);//令洞值为父值
		holeIndex=parent;//调整洞号，向上提升至父节点
		parent=(holeIndex-1)/2;//新洞的父节点
	}//持续至顶端，或满足heap的次序特性为止
	*(first+holdIndex)=value;//令洞值为新值，完成插入操作
}

如图所示：

下面是pop_heap算法的实现细节

template
void _adjust_heap(RandomAccessIterator first,Distance holeIndex,Distance len,T value)
{
	Distance topIndex=holeIndex;
	Distance secondChild=2*holeIndex+2;
	while(secondChild
		//比较洞节点之左右两个子值，然后以secondChild代表大子节点
		if(*(first+secondChild)<*(first+(secondChild-1)))
			secondChild--;
		//令较大子值为洞值，再令洞号下移至较大子节点处
		*(first+holeIndex)=*(first+secondChild);
		holeIndex=secondChild;
		//找出新洞节点的右子节点
		secondChild=2*(secondChild+1);
	}
	if(secondChild==len)//没有右节点，只有左节点
	{
		*(first+holeIndex)=*(first+(secondChild-1));
		holeIndex=secondChild-1;
	}
	//将欲调整值填入目前的洞号内，注意，此时肯定满足次序特性
	_push_heap(first,holeIndex,topIndex,value);
}

注意，pop_heap之后，最大元素只是被置放于底部容器的最尾端，尚未被取走，如果要取其值，可使用底部容器(vector)所提供的back()操作函数,如果要移除它，可使用底部容器所提供的pop_back()的操作函数