数据结构进阶---哈希

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1.unordered系列关联式容器
2.哈希
- 2.1哈希概念
- 2.2哈希冲突
- 2.3哈希冲突解决
- - 2.3.1闭散列
  - - 2.3.1.1线性探测
  - 2.3.2开散列
3.unordered_set和unordered_map模拟实现
- 3.1unordered_map模拟实现
- 3.2unordered_set模拟实现
4.位图
- 4.1经典面试题
- 4.2位图应用

1.unordered系列关联式容器

在C++98中，STL提供了底层为红黑树结构的一系列关联式容器，在查询时效率可达到 l o g 2 N log_2N log2N，即最差情况下需要比较红黑树的高度次，当树中的节点非常多时，查询效率也不理想。最好的查询是，进行很少的比较次数就能够将元素找到，因此在C++11中，STL又提供了4个unordered系列的关联式容器，这四个容器与红黑树结构的关联式容器使用方式基本类似，只是其底层结构不同，本文中只对unordered_map和unordered_set进行介绍，unordered_multimap和unordered_multiset。

unordered_set使用

#include 
#include 
int main()
{
	//去重
	unordered_set us;
	us.insert(5);
	us.insert(1);
	us.insert(5);
	us.insert(3);
	us.insert(7);
	us.insert(2);

	unordered_set::iterator it = us.begin();
	while (it != us.end())
	{
		cout << *it << " ";
		++it;
	}
	cout << endl;

	for (auto e : us)
	{
		cout << e << " ";
	}
	cout << endl;

	unordered_multiset ums;
	ums.insert(5);
	ums.insert(1);
	ums.insert(5);
	ums.insert(3);
	ums.insert(7);
	ums.insert(2);
	for (auto e : ums)
	{
		cout << e << " ";
	}
	cout << endl;
}

我们发现，它的使用和set保持一致，区别在哪呢？区别在于set底层是用哈希封装的，在效率上更胜一筹，同样地，unordered_map也类似。

2.哈希 2.1哈希概念

顺序结构以及平衡树中，元素关键码与其存储位置之间没有对应的关系，因此在查找一个元素时，必须要经过关键码的多次比较。顺序查找时间复杂度为O(N)，平衡树中为树的高度，即O( l o g 2 N log_2N log2N)，搜索的效率取决于搜索过程中元素的比较次数。
理想的搜索方法：可以不经过任何比较，一次直接从表中得到要搜索的元素。如果构造一种存储结构，通过某种函数(hashFunc)使元素的存储位置与它的关键码之间能够建立一一映射的关系，那么在查找时通过该函数可以很快找到该元素。
当向该结构中：

插入元素
根据待插入元素的关键码，以此函数计算出该元素的存储位置并按此位置进行存放。
搜索元素
对元素的关键码进行同样的计算，把求得的函数值当做元素的存储位置，在结构中按此位置取元素比
较，若关键码相等，则搜索成功。

该方式即为哈希(散列)方法，哈希方法中使用的转换函数称为哈希(散列)函数，构造出来的结构称为哈希表(Hash Table)(或者称散列表)。

2.2哈希冲突

上面介绍的方法有一个问题，若集合中有一个数据11，那应该存在哪里？下标为1的位置已经有数据1了。

不同关键字通过相同哈希哈数计算出相同的哈希地址，该种现象称为哈希冲突或哈希碰撞。在接下来的方法中会解决这些冲突。

2.3哈希冲突解决

解决哈希冲突两种常见的方法是：闭散列和开散列。

2.3.1闭散列

闭散列：也叫开放定址法，当发生哈希冲突时，如果哈希表未被装满，说明在哈希表中必然还有空位置，那么可以把key存放到冲突位置中的“下一个” 空位置中去。

2.3.1.1线性探测

从发生冲突的位置开始，依次向后探测，直到寻找到下一个空位置为止。

接下来用代码来实现这一数据结构。
结构定义

enum Status
{
	EXIST,
	EMPTY,
	DELETE
};
template
struct HashData
{
	pair _kv;
	Status _status = EMPTY;
};
template>
class HashTable
{
private:
	vector> _tables;
	size_t _n = 0;	// 有效数据个数
}

查找

HashData* Find(const K& key)
{
	if (_tables.size() == 0)
	{
		return nullptr;
	}

	size_t start = key % _tables.size();//注意，这里不能模上capacity，capacity的空间不是都能访问的。
	size_t i = 0;
	size_t index = start;
	// 线性探测 or 二次探测
	while (_tables[index]._status != EMPTY)
	{
		if (_tables[index]._kv.first == key && _tables[index]._status == EXIST)
		{
			return &_tables[index];
		}

		++i;
		index = start + i;

		index %= _tables.size();
	}

	return nullptr;
}

插入

bool Insert(const pair& kv)
{
	HashData* ret = Find(kv.first);
	if (ret)
	{
		return false;
	}
	// 这里涉及负载因子的概念，负载因子 = 当前数据个数 / 总大小
	// 负载因子到0.7，就扩容
	// 负载因子越小，冲突概率越低，效率越高，空间浪费越多
	// 负载因子越大，冲突概率越高，效率越低，空间浪费越少
	if (_tables.size() == 0 || _n * 10 / _tables.size() >= 7)
	{
		// 扩容
		size_t newSize = _tables.size() == 0 ? 10 : _tables.size() * 2;
		HashTable newHT;
		newHT._tables.resize(newSize);
		for (size_t i = 0; i < _tables.size(); ++i)
		{
			if (_tables[i]._status == EXIST)
			{
				newHT.Insert(_tables[i]._kv);
			}
		}

		_tables.swap(newHT._tables);
	}
	size_t start = kv.first % _tables.size();
	size_t i = 0;
	size_t index = start;
	// 线性探测
	while (_tables[index]._status == EXIST)
	{
		++i;
		index = start + i;

		index %= _tables.size();
	}

	_tables[index]._kv = kv;
	_tables[index]._status = EXIST;
	++_n;

	return true;
}

删除

bool Erase(const K& key)
{
	HashData* ret = Find(key);
	if (ret == nullptr)
	{
		return false;
	}
	else
	{
		--_n;
		ret->_status = DELETE;
		return true;
	}
}

写到这里有一个非常严重的问题没有解决，如果是两个string类型这段代码还能正常运行吗？显然不行，字符串不能进行取模操作，所以针对这种情况我们需要特殊处理。

template
struct Hash
{
	size_t operator()(const K& key)
	{
		return key;
	}
};
// 针对字符串的情况做特殊处理
template<>
struct Hash < string >
{
	size_t operator()(const string& s)
	{
		// BKDR
		size_t value = 0;
		for (auto ch : s)
		{
			value *= 31;
			value += ch;
		}
		return value;
	}
};

此时插入、查找也需要修改。

HashData* Find(const K& key)
{
	if (_tables.size() == 0)
	{
		return nullptr;
	}

	HashFunc hf;
	size_t start = hf(key) % _tables.size();
	size_t i = 0;
	size_t index = start;
	// 线性探测
	while (_tables[index]._status != EMPTY)
	{
		if (_tables[index]._kv.first == key && _tables[index]._status == EXIST)
		{
			return &_tables[index];
		}

		++i;
		index = start + i;

		index %= _tables.size();
	}

	return nullptr;
}

bool Insert(const pair& kv)
{
	HashData* ret = Find(kv.first);
	if (ret)
	{
		return false;
	}
	// 这里涉及负载因子的概念，负载因子 = 当前数据个数 / 总大小
	// 负载因子到0.7，就扩容
	// 负载因子越小，冲突概率越低，效率越高，空间浪费越多
	// 负载因子越大，冲突概率越高，效率越低，空间浪费越少
	if (_tables.size() == 0 || _n * 10 / _tables.size() >= 7)
	{
		// 扩容
		size_t newSize = _tables.size() == 0 ? 10 : _tables.size() * 2;
		HashTable newHT;
		newHT._tables.resize(newSize);
		for (size_t i = 0; i < _tables.size(); ++i)
		{
			if (_tables[i]._status == EXIST)
			{
				newHT.Insert(_tables[i]._kv);
			}
		}

		_tables.swap(newHT._tables);
	}

	HashFunc hf;
	size_t start = hf(kv.first) % _tables.size();
	size_t i = 0;
	size_t index = start;
	// 线性探测
	while (_tables[index]._status == EXIST)
	{
		++i;
		index = start + i;

		index %= _tables.size();
	}

	_tables[index]._kv = kv;
	_tables[index]._status = EXIST;
	++_n;

	return true;
}

完整代码:

#include 
#include 

template
struct Hash
{
	size_t operator()(const K& key)
	{
		return key;
	}
};

// 特化
template<>
struct Hash < string >
{
	size_t operator()(const string& s)
	{
		// BKDR
		size_t value = 0;
		for (auto ch : s)
		{
			value *= 31;
			value += ch;
		}
		return value;
	}
};


namespace CloseHash
{
	enum Status
	{
		EXIST,
		EMPTY,
		DELETE
	};

	template
	struct HashData
	{
		pair _kv;
		Status _status = EMPTY;
	};

	template>
	class HashTable
	{
	public:
		bool Erase(const K& key)
		{
			HashData* ret = Find(key);
			if (ret == nullptr)
			{
				return false;
			}
			else
			{
				--_n;
				ret->_status = DELETE;
				return true;
			}
		}

		HashData* Find(const K& key)
		{
			if (_tables.size() == 0)
			{
				return nullptr;
			}

			HashFunc hf;
			size_t start = hf(key) % _tables.size();//注意，这里不能模上capacity,capacity的空间不是都能访问的。
			size_t i = 0;
			size_t index = start;
			// 线性探测 or 二次探测
			while (_tables[index]._status != EMPTY)
			{
				if (_tables[index]._kv.first == key && _tables[index]._status == EXIST)
				{
					return &_tables[index];
				}

				++i;
				index = start + i;

				index %= _tables.size();
			}

			return nullptr;
		}

		bool Insert(const pair& kv)
		{
			HashData* ret = Find(kv.first);
			if (ret)
			{
				return false;
			}
			// 这里涉及负载因子的概念，负载因子 = 当前数据个数 / 总大小
			// 负载因子到0.7，就扩容
			// 负载因子越小，冲突概率越低，效率越高，空间浪费越多
			// 负载因子越大，冲突概率越高，效率越低，空间浪费越少
			if (_tables.size() == 0 || _n * 10 / _tables.size() >= 7)
			{
				// 扩容
				size_t newSize = _tables.size() == 0 ? 10 : _tables.size() * 2;
				HashTable newHT;
				newHT._tables.resize(newSize);
				for (size_t i = 0; i < _tables.size(); ++i)
				{
					if (_tables[i]._status == EXIST)
					{
						newHT.Insert(_tables[i]._kv);
					}
				}

				_tables.swap(newHT._tables);
			}

			HashFunc hf;
			size_t start = hf(kv.first) % _tables.size();
			size_t i = 0;
			size_t index = start;
			// 线性探测 or 二次探测
			while (_tables[index]._status == EXIST)
			{
				++i;
				//index = start + i*i;
				index = start + i;

				index %= _tables.size();
			}

			_tables[index]._kv = kv;
			_tables[index]._status = EXIST;
			++_n;
			return true;
		}

	private:
		vector> _tables;
		size_t _n = 0;	// 有效数据个数
	};
}

2.3.2开散列

开散列法又叫链地址法(开链法)，首先对关键码集合用散列函数计算散列地址，具有相同地址的关键码归于同一子集合，每一个子集合称为一个桶，各个桶中的元素通过一个单链表链接起来，各链表的头结点存储在哈希表中。

结构定义

template
struct HashNode
{
	T _data;
	HashNode* _next;

	HashNode(const T& data)
		:_data(data)
		, _next(nullptr)
	{}
};

查找

Node* Find(const K& key)
{
	if (_tables.empty())
	{
		return nullptr;
	}

	HashFunc hf;
	size_t index = hf(key) % _tables.size();
	Node* cur = _tables[index];
	KeyOfT kot;
	while (cur)
	{
		if (kot(cur->_data) == key)
		{
			return cur;
		}
		else
		{
			cur = cur->_next;
		}
	}

	return nullptr;
}

插入

bool Insert(const T& data)
{
	Node* ret = Find(kv.first);
	if (ret)
		return false;

	HashFunc hf;
	// 负载因子 == 1时扩容
	if (_n == _tables.size())
	{
		size_t newSize = _tables.size() == 0 ? 10 : _tables.size() * 2;
		vector newTables;
		newTables.resize(newSize);
		for (size_t i = 0; i < _tables.size(); ++i)
		{
			Node* cur = _tables[i];
			while (cur)
			{
				Node* next = cur->_next;

				size_t index = hf(cur->_data) % newTables.size();
				// 头插
				cur->_next = newTables[index];
				newTables[index] = cur;

				cur = next;
			}

			_tables[i] = nullptr;
		}

		_tables.swap(newTables);
	}


	size_t index = hf(kv.first) % _tables.size();
	Node* newnode = new Node(data);
	// 头插
	newnode->_next = _tables[index];
	_tables[index] = newnode;

	++_n;
	return true;
}

删除

bool Erase(const K& key)
{
	if (_tables.empty())
	{
		return false;
	}
	HashFunc hf;
	size_t index = hf(key) % _tables.size();
	Node* prev = nullptr;
	Node* cur = _tables[index];
	KeyOfT kot;
	while (cur)
	{
		if (kot(cur->_data) == key)
		{
			if (prev == nullptr) // 头删
			{
				_tables[index] = cur->_next;
			}
			else // 中间删除
			{
				prev->_next = cur->_next;
			}

			--_n;

			delete cur;

			return true;
		}
		else
		{
			prev = cur;
			cur = cur->_next;
		}
	}

	return false;
}

到这里开散列的基本框架也就完成了。
但还没完，我们还需要实现它的迭代器，以及用模板封装。
完整代码:

namespace LinkHash
{
	template
	struct HashNode
	{
		T _data;
		HashNode* _next;

		HashNode(const T& data)
			:_data(data)
			, _next(nullptr)
		{}
	};

	template
	class HashTable;

	template
	struct __HTIterator
	{
		typedef HashNode Node;
		typedef __HTIterator Self;

		Node* _node;
		HashTable* _pht;

		__HTIterator(Node* node, HashTable* pht)
			:_node(node)
			, _pht(pht)
		{}

		Ref operator*()
		{
			return _node->_data;
		}

		Ptr operator->()
		{
			return &_node->_data;
		}

		Self& operator++()
		{
			if (_node->_next)
			{
				_node = _node->_next;
			}
			else
			{
				KeyOfT kot;
				HashFunc hf;
				size_t index = hf(kot(_node->_data)) % _pht->_tables.size();
				++index;
				// 找下一个不为空的桶
				while (index < _pht->_tables.size())
				{
					if (_pht->_tables[index])
					{
						break;
					}
					else
					{
						++index;
					}
				}

				// 表走完了，都没有找到下一个桶
				if (index == _pht->_tables.size())
				{
					_node = nullptr;
				}
				else
				{
					_node = _pht->_tables[index];
				}
			}

			return *this;
		}

		bool operator!=(const Self& s) const
		{
			return _node != s._node;
		}

		bool operator==(const Self& s) const
		{
			return _node == s._node;
		}
	};

	template
	class HashTable
	{
		typedef HashNode Node;

		template
		friend struct __HTIterator;
		typedef HashTable Self;
	public:
		typedef __HTIterator iterator;
		// 显示指定编译器去生成默认构造函数
		HashTable() = default;

		HashTable(const Self& ht)
		{
			_tables.resize(ht._tables.size());
			for (size_t i = 0; i < ht._tables.size(); ++i)
			{
				Node* cur = ht._tables[i];
				while (cur)
				{
					Node* copy = new Node(cur->_data);
					copy->_next = _tables[i];
					_tables[i] = copy;

					cur = cur->_next;
				}
			}
		}

		// ht1 = ht2
		Self& operator=(Self copy)
		{
			swap(_n, copy._n);
			_tables.swap(copy._tables);
			return *this;
		}

		~HashTable()
		{
			for (size_t i = 0; i < _tables.size(); ++i)
			{
				Node* cur = _tables[i];
				while (cur)
				{
					Node* next = cur->_next;
					delete cur;
					cur = next;
				}
				_tables[i] = nullptr;
			}
		}

		iterator begin()
		{
			for (size_t i = 0; i < _tables.size(); ++i)
			{
				if (_tables[i])
				{
					return iterator(_tables[i], this);
				}
			}

			return end();
		}

		iterator end()
		{
			return iterator(nullptr, this);
		}

		bool Erase(const K& key)
		{
			if (_tables.empty())
			{
				return false;
			}

			HashFunc hf;
			size_t index = hf(key) % _tables.size();
			Node* prev = nullptr;
			Node* cur = _tables[index];
			KeyOfT kot;
			while (cur)
			{
				if (kot(cur->_data) == key)
				{
					if (prev == nullptr) // 头删
					{
						_tables[index] = cur->_next;
					}
					else // 中间删除
					{
						prev->_next = cur->_next;
					}

					--_n;

					delete cur;

					return true;
				}
				else
				{
					prev = cur;
					cur = cur->_next;
				}
			}

			return false;
		}

		iterator Find(const K& key)
		{
			if (_tables.empty())
			{
				return end();
			}

			HashFunc hf;
			size_t index = hf(key) % _tables.size();
			Node* cur = _tables[index];
			KeyOfT kot;
			while (cur)
			{
				if (kot(cur->_data) == key)
				{
					return iterator(cur, this);
				}
				else
				{
					cur = cur->_next;
				}
			}

			return end();
		}


		pair Insert(const T& data)
		{
			KeyOfT kot;
			iterator ret = Find(kot(data));
			if (ret != end())
				return make_pair(ret, false);

			HashFunc hf;
			// 负载因子 == 1时扩容
			if (_n == _tables.size())
			{
				size_t newSize = _tables.size() == 0 ? 10 :_tables.size()* 2;
				if(newSize > _tables.size())
				{
					vector newTables;
					newTables.resize(newSize);
					for (size_t i = 0; i < _tables.size(); ++i)
					{
						Node* cur = _tables[i];
						while (cur)
						{
							Node* next = cur->_next;
	
							size_t index = hf(kot(cur->_data)) % newTables.size();
							// 头插
							cur->_next = newTables[index];
							newTables[index] = cur;
	
							cur = next;
						}
	
						_tables[i] = nullptr;
					}
	
					_tables.swap(newTables);
				}
				
			}


			size_t index = hf(kot(data)) % _tables.size();
			Node* newnode = new Node(data);
			// 头插
			newnode->_next = _tables[index];
			_tables[index] = newnode;

			++_n;
			return make_pair(iterator(newnode, this), false);;
		}

	private:
		vector _tables;

		size_t _n = 0;  // 有效数据的个数
	};
}

3.unordered_set和unordered_map模拟实现

有了前面哈希表的铺垫，接下来的模拟实现就非常容易了。

3.1unordered_map模拟实现

#include "HashTable.h"
namespace bit
{
	template>
	class unordered_map
	{
		struct MapKeyOfT
		{
			const K& operator()(const pair& kv)
			{
				return kv.first;
			}
		};
	public:
		typedef typename LinkHash::HashTable, MapKeyOfT, hash>::iterator iterator;
		iterator begin()
		{
			return _ht.begin();
		}

		iterator end()
		{
			return _ht.end();
		}

		V& operator[](const K& key)
		{
			auto ret = _ht.Insert(make_pair(key, V()));
			return ret.first->second;
		}

		pair insert(const pair& kv)
		{
			return _ht.Insert(kv);
		}

	private:
		LinkHash::HashTable, MapKeyOfT, hash> _ht;
	};
}

3.2unordered_set模拟实现

#pragma once
#include "HashTable.h"
namespace bit
{
	template>
	class unordered_set
	{
		struct SetKeyOfT
		{
			const K& operator()(const K& key)
			{
				return key;
			}
		};
	public:
		typedef typename LinkHash::HashTable::iterator iterator;
		iterator begin()
		{
			return _ht.begin();
		}

		iterator end()
		{
			return _ht.end();
		}

		pair insert(const K& key)
		{
			return _ht.Insert(key);
		}
	private:
		LinkHash::HashTable _ht;
	};
}

4.位图 4.1经典面试题

我们来看一道腾讯的面试题
给40亿个不重复的无符号整数，没排过序。给一个无符号整数，如何快速判断一个数是否在这40亿个数中。
思路一:
将数据存储起来，然后遍历，时间复杂度为O(N)。这个方法有一个弊端，非常耗费空间，我们可以来算算，一个整型4字节，40亿个整型就是160亿字节，换算成GB，大概需要15G的内存，这显然不可行。
思路二:
先排序，再用二分查找，时间复杂度(O( N l o g 2 N Nlog_2N Nlog2N))，再利用二分查找: O( l o g 2 N log_2N log2N)，这个方法比刚刚稍微优化一点，但还不是最佳。
思路三:
利用位图去存储，根据数据是否在给定的整形数据中，结果是在或者不在，刚好是两种状态，那么可以使用一个二进制比特位来代表数据是否存在的信息，如果二进制比特位为1，代表存在，为0代表不存在。
注意，我们在分配空间时，不是分配40亿个整型的空间，是按整型的范围来分配的，即最大为 2 32 2^{32} 232，1个字节有8个bit，所以 2 32 2^{32} 232还要除8，当然可能会出现这种情况，15除8等于1，所以最终还需要再加上1。
接下来我们来模拟实现一下。
结构定义

template
class bitset
{
public:
	bitset()
	{
		_bits.resize(N / 8 + 1);
	}
private:
	std::vector _bits;
};

接下来就是把数据存入，即设置对应的位置为1。

void set(size_t x)
{
	size_t i = x / 8;
	size_t j = x % 8;

	_bits[i] |= (1 << j);
}

举个例子来解释一下这个位操作。假设存入15，
00000000 刚开始还没存入数据，所以是0
10000000 00000001向左移7位
10000000 按位或的结果
除了存入数据，还需要删除数据。

void reset(size_t x)
{
	size_t i = x / 8;
	size_t j = x % 8;

	_bits[i] &= (~(1 << j));
}

还是以刚刚15位例，
10000000 15的位图
011111111 1向左移7位按位取反
00000000 按位与的结果
最后还需要一个检验某个数在不在这个位图里的函数

bool test(size_t x)
{
	size_t i = x / 8;
	size_t j = x % 8;

	return _bits[i] & (1 << j);
}

这个相信大家很容易看懂，相当于在对应位置用1按位与，若为1则表示存在，反之则不存在。
完整代码:

template
class bitset
{
public:
	bitset()
	{
		_bits.resize(N / 8 + 1, 0);
	}

	void set(size_t x)
	{
		size_t i = x / 8;
		size_t j = x % 8;

		_bits[i] |= (1 << j);
	}

	void reset(size_t x)
	{
		size_t i = x / 8;
		size_t j = x % 8;

		_bits[i] &= (~(1 << j));
	}

	bool test(size_t x)
	{
		size_t i = x / 8;
		size_t j = x % 8;

		return _bits[i] & (1 << j);
	}

private:
	std::vector _bits;
};

4.2位图应用

我们再来看看与位图相关的三道题

1. 给定100亿个整数，设计算法找到只出现一次的整数？
2. 给两个文件，分别有100亿个整数，我们只有1G内存，如何找到两个文件交集？
3. 位图应用变形：1个文件有100亿个int，1G内存，设计算法找到出现次数不超过2次的所有整数

题目一:
1.给定100亿个整数，设计算法找到只出现一次的整数？
这道题实际上就是要想办法区分这三种状态
1.出现0次
2.出现1次
3.出现2次及以上
1个bit可以标识两种状态，2个bit可以标识四种状态，所以我们只需要用两个容器来存储即可。

template
class TwoBitSet
{
public:
	void Set(size_t x)
	{
		if (!_bs1.test(x) && !_bs2.test(x)) // 00 -> 01
		{
			_bs2.set(x);
		}
		else if (!_bs1.test(x) && _bs2.test(x)) // 01 -> 10
		{
			_bs1.set(x);
			_bs2.reset(x);
		}
	}
	void PrintOnceNum()
	{
		for (size_t i = 0; i < N; ++i)
		{
			if (!_bs1.test(i) && _bs2.test(i)) // 01
			{
				cout << i << endl;
			}
		}
	}
private:
	bit::bitset _bs1;
	bit::bitset _bs2;
};

题目二:
2.给两个文件，分别有100亿个整数，我们只有1G内存，如何找到两个文件交集？
思路一: 先把第一个文件中的整数set到一个位图，读取第二个文件中的整数判断在不在位图。
这种思路有一个缺陷，就是会把重复值给找出来，最后还得去重，所以不可取。
思路二:
分别把两个文件中的数据set到bs1、bs2中，接下来有两种处理方法:
1.遍历bs2中的值，看在不在bs1中
2.bs1中的值依次跟bs2中的值按位与。

题目三:
3.1个文件有100亿个int，1G内存，设计算法找到出现次数不超过2次的所有整数
搞懂了第一题，这题实际上就很容易了，就是第一题的变形。不超过两次即要标识4种状态。
1.出现0次 00
2.出现1次 01
3.出现2次 10
4.出现3次即以上 11
如果这题题目改成不超过6次，你应该就能明白用三个位图就可以解决了。

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数据结构进阶---哈希

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