C++题解：Hanoi双塔问题(hanoi.pas/c/cpp)

给定A,B,C三根足够长的细柱，在A柱上放有2n个中间有空的圆盘，共有n个不同的尺寸，每个尺寸都有两个相同的圆盘，注意这两个圆盘是不加区分的(下图为n=3的情形）。现要将 这些国盘移到C柱上，在移动过程中可放在B柱上暂存。要求:

(1)每次只能移动一个圆盘；

(2) A、B、C三根细柱上的圆盘都要保持上小下大的顺序；

任务:设An为2n个圆盘完成上述任务所需的最少移动次数，对于输入的n，输出An。

一个正整数n，表示在A柱上放有2n个圆盘。

仅一行，包含一个正整数，为完成上述任务所需的最少移动次数An。

Sample Input1:

1



Sample Input2:

2

Sample Output1:

2

Sample Output2:

6

【限制】

对于50%的数据， 1<=n<=25

对于100% 数据， 1<=n<=200

【提示】 设法建立An与An-1的递推关系式。

很明显，是一道递推题。

根据题面，当我们 n = 3 n=3 n=3 时，则最少需要移动 14 14 14 次，当我们 n = 4 n=4 n=4 时，则最少需要移动 30 30 30 次。

将上述情况与样例相结合，可发现一种规律： 2 ∗ 2 + 2 = 6 2*2+2=6 2∗2+2=6 ， 2 ∗ 6 + 2 = 14 2*6+2=14 2∗6+2=14 ， 2 ∗ 14 + 2 = 30 2*14+2=30 2∗14+2=30 。由此得出递推式： f 1 = 2 , f i = 2 ∗ f i − 1 + 1 ( 2 ≤ i ≤ n ) f_1=2,f_i=2*f_{i-1}+1(2≤i≤n) f1​=2,fi​=2∗fi−1​+1(2≤i≤n) 。

#include
long long f[205];
int n;
int main()
{
	freopen("hanoi.in","r",stdin);
	freopen("hanoi.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	f[1]=2;
	for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=2*f[i-1]+2;//上述递推式
	printf("%lld",f[n]);//输出答案为f[n]
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}

但我们试了一下数据， f f f 就算是开到 long long，当 n > 62 n>62 n>62 时，得出的答案就大到连 long long 都存不下了，这时，我们就需要用到高精度运算了。

#include
int n,f[205][105],l=1;//l为f的位数
int main()
{
	freopen("hanoi.in","r",stdin);
	freopen("hanoi.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	f[1][1]=2;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		//高精度运算
		f[i][1]=2*f[i-1][1]+2;//与其他位相比，个位要多加一个2，所以先处理个位
		for(int j=2;j<=l;j++) f[i][j]=2*f[i-1][j];//再处理第2到l位
		for(int j=1;j<=l;j++)
		{
			f[i][j+1]+=f[i][j]/10;//f[i][j]可能会大于9，需要处理进位问题
			f[i][j]%=10;
		}
		while(f[i][l+1]>0) l++;//将f[i]的位数扩大
	}
	for(int i=l;i>=1;i--) printf("%d",f[n][i]);//输出答案为f[n]
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}