【动态规划】—— 背包模型

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回顾一下 01 背包问题 （每个物品只能选一次）

集合划分的依据：用“最后一步”来划分 

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 完全背包问题：每个物品可以选 0,1,2,3... 个

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 通过比较可以得到：

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背包问题的注意事项 

1. 当空间优化到1维之后，只有完全背包问题的体积是从小到大循环的       
2. for 物品
       for 体积
           for 决策

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AcWing 6. 多重背包问题 III 

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#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 20010;

int n, m;
int f[N], g[N], q[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        memcpy(g, f, sizeof f);
        for (int j = 0; j < v; j ++ )
        {
            int hh = 0, tt = -1;
            for (int k = j; k <= m; k += v)
            {
                if (hh <= tt && q[hh] < k - s * v) hh ++ ;
                while (hh <= tt && g[q[tt]] - (q[tt] - j) / v * w <= g[k] - (k - j) / v * w) tt -- ;
                q[ ++ tt] = k;
                f[k] = g[q[hh]] + (k - q[hh]) / v * w;
            }
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

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AcWing 423. 采药 

70 3
71 100
69 1
1 2

输出样例：

3

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这是01背包问题的简单应用 

#include 

using namespace std;


const int N = 1010;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> m >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = m; j >= v; j -- ) f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}

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AcWing 1024. 装箱问题 

输入样例：

24
6
8
3
12
7
9
7

输出样例:

0

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#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 200010;

int m, n;
int f[N];

int main()
{
    cin >> m >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = m; j >= v; j --) f[j] = max(f[j], f[j - v] + v);
    }
    
    cout << m - f[m] << endl;
    return 0;
}

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AcWing 1022. 宠物小精灵之收服 

 

输入样例1：

10 100 5
7 10
2 40
2 50
1 20
4 20

输出样例1：

3 30

输入样例2：

10 100 5
8 110
12 10
20 10
5 200
1 110

输出样例2：

0 100

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1. 花费1：精灵球的数量
2. 花费2：皮卡丘的体力值
3. 价值：小精灵的数量

状态计算：

最多收服的小精灵数量：

最小消耗的体力：

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#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1010, M = 510;

int n, V1, V2;
int f[N][M];

int main()
{
    cin >> V1 >> V2 >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v1, v2;
        cin >> v1 >> v2;
        for(int j = V1; j >= v1; j -- )
            for(int k = V2; k >= v2; k --)
                f[j][k] = max(f[j][k], f[j - v1][k - v2] + 1);
    }

    cout << f[V1][V2 - 1] << ' ';
    int k = V2 - 1;
    while(k > 0 && f[V1][k - 1] == f[V1][V2 - 1]) k --;
    cout << V2 - k << endl;

    return 0;
}

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AcWing 8. 二维费用的背包问题 

 

输入样例

4 5 6
1 2 3
2 4 4
3 4 5
4 5 6

输出样例：

8

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#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 110;

int n, V, M;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> V >> M;
    for(int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v, m, w;
        cin >> v >> m >> w;
        for(int j = V; j >= v; j -- )
            for(int k = M; k >= m; k -- )
                f[j][k] = max(f[j][k], f[j - v][k - m] + w);
    }
    
    cout << f[V][M] << endl;
    
    return 0;
}

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AcWing 1020. 潜水员 

输入样例：

5 60
5
3 36 120
10 25 129
5 50 250
1 45 130
4 20 119

输出样例：

249

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#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 22, M = 80;

int n, m, K;
int f[N][M];

int main()
{
    cin >> n >> m >> K;

    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    while (K -- )
    {
        int v1, v2, w;
        cin >> v1 >> v2 >> w;
        for (int i = n; i >= 0; i -- )
            for (int j = m; j >= 0; j -- )
                f[i][j] = min(f[i][j], f[max(0, i - v1)][max(0, j - v2)] + w);
    }


    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

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 AcWing 278. 数字组合

输入样例：

4 4
1 1 2 2

输出样例：

3

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将 M 看成是背包容量

每个数看成是一个物品，Ai 看成是体积

目标：求出总体积恰好是 M 的方案数 

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#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    f[0] = 1;
    
    for(int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = m; j >= v; j -- )
            f[j] += f[j - v];
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}

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AcWing 1019. 庆功会 

输入样例：

5 1000
80 20 4
40 50 9
30 50 7
40 30 6
20 20 1

输出样例：

1040

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多重背包问题的模板题 

#include 

using namespace std;

const int N = 6010;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        for(int j = m; j >= 0; j -- )
            for(int k = 0; k <= s && k * v <= j; k ++ )
                f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w);
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}

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AcWing 1023. 买书 

 

 

输入样例1：

20

输出样例1：

2

输入样例2：

15

输出样例2：

0

输入样例3：

0

输出样例3:

1

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二维DP的朴素写法

 

#include 

using namespace std;

const int N = 1010;

int v[5] = {0, 10, 20, 50, 100};
int f[5][N];

int main()
{
    int m;
    cin >> m;
    
    f[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 4; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++ )
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v[i]) f[i][j] += f[i][j - v[i]];
        }
    
    cout << f[4][m] << endl;
    
    return 0;
}

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优化后的一维DP解法 

#include 

using namespace std;

const int N = 1010;

int v[5] = {0, 10, 20, 50, 100};
int f[N];

int main()
{
    int m;
    cin >> m;
    
    f[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 4; i ++ )
        for(int j = v[i]; j <= m; j ++ )
        {
            f[j] += f[j - v[i]];
        }
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}

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