基础算法-前缀和与差分

前缀和与差分 文章目录

• 前缀和与差分
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  • 什么是前缀和
  • 一维前缀和
  • • 预处理：
    • 公式推导：
    • 例题：AcWing 795. 前缀和
    • • 输入格式
      • 输出格式
      • 数据范围
      • 输入样例：
      • 输出样例：
      • AC代码：
  • 二维前缀和
  • • 公式推导：
    • 例题1：AcWing 796. 子矩阵的和
    • • 输入格式
      • 输出格式
      • 数据范围
      • 输入样例：
      • 输出样例：
      • AC代码：
    • 例题2 第十三届蓝桥杯C++B组 试题 F: 统计子矩阵
    • • 【问题描述】
      • 【输入格式】
      • 【输出格式】
      • 【样例输入】
      • 【样例输出】
      • 【样例说明】
      • 【评测用例规模与约定】
      • 二维前缀和+四重循环暴力代码：
  • 什么是差分
  • • 一维差分
    • 差分数组：
    • 区间修改：
    • 公式推导：
    • 例题 AcWing 797. 差分
    • • 输入格式
      • 输出格式
      • 数据范围
      • 输出样例：
      • AC代码：
    • 二维差分
    • 差分数组：
    • 公式推导：
    • 理解：
    • 例题 AcWing 798. 差分矩阵
    • • 输入格式
      • 输出格式
      • 数据范围
      • 输入样例：
      • 输出样例：
      • AC代码

什么是前缀和

前缀和指一个数组的某下标之前的所有数组元素的和（包含其自身）。前缀和分为一维前缀和，以及二维前缀和。前缀和是一种重要的预处理，能够降低算法的时间复杂度， 快速求出元素组中某段区间的和。

一维前缀和 预处理：

设一维数组为a[N], 前缀和数组为s[N], 要求的区间为[l, r] （l <= r）

公式推导：

s[0] = a[0]
s[1] = a[0] + a[1] = s[0] + a[1]
s[2] = a[0] + a[1] + a[2] = s[1] + a[2]
s[3] = a[0] + a[1] + a[2] + a[3] = s[2] + a[3]
s[4] = a[0] + a[1] + a[2] + a[3] + a[4] = s[3] + a[4]
..........
s[n] = s[n - 1] + a[n]

s[r] = a[1] + a[2] + ... + a[l - 1] + a[l] + a[l + 1]+ ... a[r]
s[l - 1] = a[1] + a[2] + ... + a[l - 1]
s[r] - s[l - 1] = a[l] + a[l + 1] + ... + a[r]

则公式如下
一维前缀和： s [ i ] = s [ i − 1 ] + a [ i ] ，区间和： i n t e r v a l [ l , r ] = s [ r ] − s [ l − 1 ] 一维前缀和：s[i] = s[i - 1] + a[i]， 区间和：interval [l, r] = s[r] - s[l - 1] 一维前缀和：s[i]=s[i−1]+a[i]，区间和：interval[l,r]=s[r]−s[l−1]

例题：AcWing 795. 前缀和

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 ll个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 ll和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n
1≤n,m≤100000
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10

AC代码：

#include 

using namespace std;

const int N = 1e5 + 7;
int n, m, a[N], s[N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        s[i] = s[i - 1] + a[i];// 前缀和的初始化
    }
    while (m--) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << s[r] - s[l - 1] << 'n';// 区间和的计算
    }
    return 0;
}

二维前缀和 公式推导：

如图：

每一个颜色的矩形面积都代表了它所包围元素的和 求前缀和就是求粉色矩形面积

粉色矩形：左上角（1， 1）到右下角（i， j）的矩形面积

绿色矩形：左上角（1， 1）到右下角（i， j - 1）的矩形面积

黄色矩形：左上角（1， 1）到右下角（i - 1, j）的矩形面积

蓝色矩形：左上角（1， 1）到右下角（i - 1, j - 1）的矩形面积

红色矩形：左上角（i- 1， j - 1）到右下角（i， j）的矩形面积

则二维前缀和公式如下：
s [ i ] [ j ] = s [ i − 1 ] [ j ] + s [ i ] [ j − 1 ] + a [ i ] [ j ] − s [ i − 1 ] [ j − 1 ] s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] +a[i][j] - s[i - 1][j - 1] s[i][j]=s[i−1][j]+s[i][j−1]+a[i][j]−s[i−1][j−1]
下面来推导区间和

如图：

以（x1, y1）(x2, y2)为区间的左上角、右下角

易得：
i n t e r v a l [ ( x 1 , y 1 ) − > ( x 2 , y 2 ) ] = s [ x 2 ] [ y 2 ] − s [ x 1 − 1 ] [ y 2 ] − s [ x 2 ] [ y 1 − 1 ] + s [ x 1 − 1 ] [ y 1 − 1 ] interval[ (x1, y1) -> (x2, y2) ] = s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1] interval[(x1,y1)−>(x2,y2)]=s[x2][y2]−s[x1−1][y2]−s[x2][y1−1]+s[x1−1][y1−1]

例题1：AcWing 796. 子矩阵的和

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 qq 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000，
1≤x1≤x2≤n，
1≤y1≤y2≤m，
−1000≤矩阵内元素的值≤1000−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

AC代码：

#include 

using namespace std;

const int N = 1e3 + 7;
int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];

int main() {
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
        }
    }
    while (q--) {
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1] << 'n';
    }
    return 0;
}

例题2 第十三届蓝桥杯C++B组 试题 F: 统计子矩阵 【问题描述】

给定一个 N × M 的矩阵 A，请你统计有多少个子矩阵 (最小 1 × 1，最大
N × M) 满足子矩阵中所有数的和不超过给定的整数 K?

【输入格式】

第一行包含三个整数 N, M 和 K.
之后 N 行每行包含 M 个整数，代表矩阵 A.

【输出格式】

一个整数代表答案。

【样例输入】

3 4 10
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12

【样例输出】

19

【样例说明】

满足条件的子矩阵一共有 19，包含：
大小为 1 × 1 的有 10 个。
大小为 1 × 2 的有 3 个。
大小为 1 × 3 的有 2 个。
大小为 1 × 4 的有 1 个。
大小为 2 × 1 的有 3 个。

【评测用例规模与约定】

对于 30% 的数据，N, M ≤ 20.
对于 70% 的数据，N, M ≤ 100.
对于 100% 的数据，1 ≤ N, M ≤ 500; 0 ≤ Ai j ≤ 1000; 1 ≤ K ≤ 250000000

二维前缀和+四重循环暴力代码：

#include 

using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 510;
LL a[N][N], s[N][N], n, m, k, res = 0;

int main() {
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            cin >> a[i][j];
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] + a[i][j] - s[i - 1][j - 1];
        }
    }

    for (int x1 = 1; x1 <= n; x1++) {
        for (int y1 = 1; y1 <= m; y1++) {
            for (int x2 = x1; x2 <= n; x2++) {
                for (int y2 = y1; y2 <= m; y2++) {
                    LL subMatrix = s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1];
                    if (subMatrix <= k) res++;
                }
            }
        }
    }

    cout << res << endl;

    return 0;
}

本题正确做法为二维前缀和+双指针，时间复杂度降到O（n^3）

---

什么是差分

差分（difference）又名差分函数或差分运算，差分的结果反映了离散量之间的一种变化，是研究离散数学的一种工具。 它将原函数f (x) 映射到f (x+a)-f (x+b) 。差分可以看作前缀和的逆运算。

一维差分 差分数组：

我们设原数组a[], b[]为原数组的差分数组 那么差分数组b[]的求解公式就为
b [ i ] = a [ i ] − a [ i − 1 ] ( i > = 1 ) b[i] = a[i] - a[i - 1] (i >= 1) b[i]=a[i]−a[i−1](i>=1)

区间修改：

给定区间[l ,r ]，让我们把a数组中的[ l, r]区间中的每一个数都加上c,即 a[l] + c , a[l+1] + c , a[l+2] + c … a[r] + c，暴力做法是for循环l到r区间，时间复杂度O(n)，如果我们需要对原数组执行m次这样的操作，时间复杂度就会变成O(n*m)

我们可以使用差分数组来实现区间修改的时间复杂度为O（1）

公式推导：

a数组是b数组的前缀和数组，比如对b数组的b[i]的修改，会影响到a数组中从a[i]及往后的每一个数。

首先让差分b数组中的 b[l] + c , a数组变成 a[l] + c ,a[l+1] + c…a[n] + c;

然后我们打个补丁，b[r+1] - c, a数组变成 a[r+1] - c,a[r+2] - c…a[n] - c;

对区间[l, r]进行修改加上c：
b [ l ] + = c , b [ r − 1 ] − = c b[l] += c, b[r - 1] -= c b[l]+=c,b[r−1]−=c

例题 AcWing 797. 差分

输入一个长度为 nn 的整数序列。

接下来输入 mm 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,cl,r,c，表示将序列中 [l,r][l,r] 之间的每个数加上 cc。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 nn 个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000
1≤l≤r≤n
−1000≤c≤1000
−1000≤整数序列中元素的值≤1000

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

AC代码：

#include 

using namespace std;

const int N = 1e5 + 7;
int n, m, l, r, c, a[N], b[N];

//前缀和差分互为逆运算

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        b[i] = a[i] - a[i - 1]; // a数组是b数组的前缀数组  b数组是a数组的差分数组
    }
    while (m--) {
        cin >> l >> r >> c;
        b[l] += c;  //表示l - n 全部 +c
        b[r + 1] -= c;  //表示 r + 1 ~ n 全部 -c
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        a[i] = b[i] + a[i - 1]; //通过差分数组b求其前缀和 即原数组a
        cout << a[i] << ' ';
    }
    return 0;
}

---

二维差分 差分数组：

给定原二维数组a ，二维数组b为原数组a的差分数组， 数组a为数组b的前缀和矩阵

使得a数组中a(i, j)是b数组左上角(1, 1)到右下角(i, j)所包围的矩形的元素和

构造公式：
b [ i ] [ j ] = a [ i ] [ j ] − a [ i ] [ j − 1 ] − a [ i − 1 ] [ j ] + a [ i − 1 ] [ j − 1 ] ; b[i][j] = a[i][j] - a[i][j - 1] - a[i - 1][j] + a[i - 1][j - 1]; b[i][j]=a[i][j]−a[i][j−1]−a[i−1][j]+a[i−1][j−1];

公式推导：

b[x1][ y1 ] +=c ; 让整个a数组中绿色矩形面积的元素都加上了c。
b[x1,][y2+1]-=c ; 让整个a数组中红色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y1]- =c ; 让整个a数组中紫色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y2+1]+=c; 让整个a数组中黑色矩形面积的元素再加上c，黑色内的相当于被减了两次，再加上一次c，才能使其恢复。

b [ x 1 ] [ y 1 ] + = c ; b [ x 2 + 1 ] [ y 1 ] − = c ; b [ x 1 ] [ y 2 + 1 ] − = c ; b [ x 2 + 1 ] [ y 2 + 1 ] + = c ; b[x1][y1]+=c; b[x2+1][y1]-=c; b[x1][y2+1]-=c; b[x2+1][y2+1]+=c; b[x1][y1]+=c;b[x2+1][y1]−=c;b[x1][y2+1]−=c;b[x2+1][y2+1]+=c;
我们将其封装成一个函数

void insert(int &x1, int &y1, int &x2, int &y2, int &c) {
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

理解：

我们可以先假想a数组为空，那么b数组一开始也为空，但是实际上a数组并不为空，因此我们每次让以(i,j)为左上角到以(i,j)为右下角面积内元素(其实就是一个小方格的面积)去插入 c=a[i][j]，等价于原数组a中(i,j) 到(i,j)范围内 加上了 a[i][j] ,因此执行n*m次插入操作，就成功构建了差分b数组.

例题 AcWing 798. 差分矩阵

输入一个 nn 行 mm 列的整数矩阵，再输入 qq 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,cx1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1)(x1,y1) 和 (x2,y2)(x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 cc。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c表示一个操作。

输出格式

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000
1≤q≤100000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤c≤1000
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

AC代码

#include 

using namespace std;



const int N = 1e3 + 7;
int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int &x1, int &y1, int &x2, int &y2, int &c) {
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main() {
    cin >> n >> m >> q;

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
            //b[i][j] = a[i][j] - a[i][j - 1] - a[i - 1][j] + a[i - 1][j - 1];
        }
    }

    while (q--) {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j];
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            cout << a[i][j] << ' ';
        }
        cout << 'n';
    }
    return 0;
}

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