什么是卡特兰数？

C[2n][n] - C[2n][n-1] = C[2n][n] / (n+1)

其中C[2n][n]= 2n! / n!*n!

由于有除法并且有取模，又恰好模为质数时可以用逆元来计算。

a/b%mod等价于a*b^(-1)%mod。

卡特兰数的应用1：

给出一个n，表示n个1、n个0，要求一个长度为2n的0、1序列，使得序列的任意前缀中0的个数不少于1的个数。

可用一个二维坐标轴来模拟：

向右为0，向上为1。

n=6时有：

即当经过的点均在y=x以下（包括y=x上的点）为符合要求，一旦，有点经过y=x+1及以上，则不符合（0的个数大于1的个数）。我们可以看出来所有不符合要求的点都会经过点（5,7）。

所有到点（6,6）的方案数为C[12][6],减去不符合要求的C[12][5]（或者C[12][7]），就是n=6的方案数。

也就是一个卡特兰数。

例题：889. 满足条件的01序列 - AcWing题库https://www.acwing.com/problem/content/891/

题面：

代码：

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
//快速幂模板（用来求逆元）
int qmi(int a,int k,int p)
{
    int res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) res=(ll)res*a%p;
        a=(ll)a*a%p;
        k>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    int a=n*2,b=n;
    int res=1;
    for(int i=a;i>a-b;i--) res=(ll)i*res%mod;
    for(int i=b;i>=1;i--) res=(ll)res*qmi(i,mod-2,mod)%mod;
    res=(ll)res*qmi(n+1,mod-2,mod)%mod;
    cout< 
卡特兰数的应用2： 
给顶节点组成二叉树的问题。
 
给定n个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？
 
答案：C[2n][n] / (n+1)。