- 前言
- 一、概念引入
- 二、算法的概念
- 三、第一次尝试&第二次尝试
- 四、算法效率衡量
- 1、最坏时间复杂度
- 2、时间复杂度的基本计算规则
- 3、时间复杂度分析
- 五、常见时间复杂度
- 六、timeit 模块
- 七、数据结构
- 1、概念
- 2、抽象数据类型(Abstract Data Type)
前言
本文为7月8日Python数据结构与算法学习笔记，分为七个章节：
- 以一道题目作为概念的引入；
- 算法的概念；
- 第一次尝试和第二次尝试解题；
- 算法效率衡量：最坏时间复杂度、时间复杂度的基本计算规则、时间复杂度分析；
- 常见时间复杂度；
- timeit 模块；
- 数据结构：抽象数据类型（ADT）。
一、概念引入
如果 a+b+c=1000，且 a^2+b^2=c^2（a,b,c 为自然数），如何求出所有a、b、c可能的组合?
二、算法的概念
- 是计算机处理信息的本质;
- 独立存在的一种解决问题的方法和思想；
特性：
- 输入: 0个或多个输入；
- 输出: 至少有1个或多个输出；
- 有穷性: 在有限的步骤之后自动结束而不会无限循环，并且每一个步骤可以在可接受的时间内完成；
- 确定性：算法中的每一步都有确定的含义，不会出现二义性；
- 可行性：算法的每一步都是可行的，也就是说每一步都能够执行有限的次数完成。
三、第一次尝试&第二次尝试
第一次：
import time
start_time = time.time()
# 三重循环
for a in range(0, 1001):
for b in range(0, 1001):
for c in range(0, 1001):
if a**2 + b**2 == c**2 and a+b+c == 1000:
print("a, b, c: %d, %d, %d" % (a, b, c))
end_time = time.time()
print("elapsed: %f" % (end_time - start_time))
print("complete!")
>>> a, b, c: 0, 500, 500
a, b, c: 200, 375, 425
a, b, c: 375, 200, 425
a, b, c: 500, 0, 500
>>> elapsed: 533.884531
>>> complete!
第二次：
import time
start_time = time.time()
# 两重循环
for a in range(0, 1001):
for b in range(0, 1001-a):
c = 1000 - a - b
if a**2 + b**2 == c**2:
print("a, b, c: %d, %d, %d" % (a, b, c))
end_time = time.time()
print("elapsed: %f" % (end_time - start_time))
print("complete!")
>>> a, b, c: 0, 500, 500
a, b, c: 200, 375, 425
a, b, c: 375, 200, 425
a, b, c: 500, 0, 500
>>> elapsed: 0.269171
>>> complete!
四、算法效率衡量
- 单纯依靠运行时间来比较算法的优劣并不一定客观准确。
- 假定计算机执行算法每一个基本操作的时间是固定的一个时间单位，那么有多少个基本操作就代表会花费多少时间单位；
- 对于不同的机器环境而言，对于算法进行多少个基本操作（即花费多少时间单位）在规模数量级上是相同的。
- 大O记法： 对于单调的整数函数f，如果存在一个整数函数g和实常数c>0，使得对于充分大的n总有f(n)<=c*g(n)，就说函数g是f的一个渐近函数（忽略常数），记为f(n)=O(g(n))；
- 时间复杂度： 假设存在函数g，使得算法A处理规模为n的问题示例所用时间为T(n)=O(g(n))，则称O(g(n))为算法A的渐近时间复杂度，简称时间复杂度，记为T(n)。
算法完成工作最多需要多少基本操作。 对于最坏时间复杂度，提供了一种保证，表明算法在此种程度的基本操作中一定能完成工作。
我们主要关注算法的最坏情况，亦即最坏时间复杂度。
- 基本操作，即只有常数项，认为其时间复杂度为O(1)；
- 顺序结构，时间复杂度按加法进行计算；
- 循环结构，时间复杂度按乘法进行计算；
- 分支结构，时间复杂度取最大值；
- 判断一个算法的效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，其它次要项和常数项可以忽略；
- 在没有特殊说明时，我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度。
- 第一次尝试的算法的时间复杂度：
T(n) = O(n*n*n) = O(n^3) - 第二次尝试的算法的时间复杂度：
T(n) = O(n*n*(1 + 1)) = O(n*n) = O(n^2)
五、常见时间复杂度
- 常见时间复杂度之间的关系：
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)
六、timeit 模块
用于测试一小段Python代码的执行速度
语法如下：
class timeit.Timer(stmt = ‘pass’, setup = ‘pass’, timer =)
- stmt：要测试的代码语句；
- setup：运行代码时需要的设置；
- timer：定时器函数，与平台有关。
调用语法如下：
timeit.Timer.timeit(number=1000000)
- number：测试代码时的测试次数，默认为1000000次。返回执行代码的平均耗时。
测试 list 操作：
def test1():
l = []
for i in range(1000):
l = l + [i]
def test2():
l = []
for i in range(1000):
l.append(i)
def test3():
l = [i for i in range(1000)]
def test4():
l = list(range(1000))
from timeit import Timer
t1 = Timer("test1()", "from __main__ import test1")
print("concat ", t1.timeit(number=1000), "seconds")
t2 = Timer("test2()", "from __main__ import test2")
print(".append ", t2.timeit(number=1000), "seconds")
t3 = Timer("test3()", "from __main__ import test3")
print("comprehension ", t3.timeit(number=1000), "seconds")
t4 = Timer("test4()", "from __main__ import test4")
print("list range ", t4.timeit(number=1000), "seconds")
>>> concat 0.7204065999831073 seconds
.append 0.030078700016019866 seconds
comprehension 0.01597470001433976 seconds
list range 0.00569829999585636 seconds
七、数据结构
- 数据的存储方式不同就会导致需要不同的算法进行处理；
- 我们希望算法解决问题的效率越快越好，即需考虑数据究竟如何保存的问题，这就是数据结构。
- 数据是一个抽象的概念，将其进行分类后得到程序设计语言中的基本类型。如：int，float，char等；
- 数据元素之间不是独立的，存在特定的关系，这些关系便是结构。
- 指一个数学模型以及定义在此数学模型上的一组操作；
- 引入抽象数据类型的目的是把数据类型的表示和数据类型上运算的实现与这些数据类型和运算在程序中的引用隔开，使它们相互独立。
常用的数据运算有：
- 插入；
- 删除；
- 修改；
- 查找；
- 排序。
