背包问题总结

• 01背包
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  • 二维普通代码
  • 代码个人理解：
  • 优化一维代码
  • 优化代码理解
• 完全背包问题
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  • 题目链接
  • 代码实现：
  • 思路
  • 优化代码(完全背包)
• 多重背包1
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  • 输出格式
  • 样例输入
  • 样例输出
  • 代码实现
• 多重背包2
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  • y总的讲解视频：
  • 做后理解：
  • 代码实现：
  • 混合背包
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  • 数据范围
  • 输入样例
  • 输出样例
  • 题目链接
  • 解题思路
  • 代码实现

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 样例输入：

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

8

https://www.acwing.com/problem/content/2/

https://www.acwing.com/solution/content/1374/

#include
using namespace std;
#define ll long long

const int N = 1010;
int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main()
{	
	int n,m;
	//f[i][j]表示前i个物品在j容量下的最优解
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>v[i]>>w[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
	{
		if(j 
代码个人理解： 
 
 
01背包是动态规划的一道基本的经典例题，二维数组是最常见的做法，
 其中的 f [ i ][ j ] 表示前i个物体在容量为j下的最优解，而状态转移就是：
 当容量为j时第i个物体是否能放入背包
 1.不能放入：则 f [ i ][ j ] = f [i-1][ j ]，因为第i个物体无法放入背包，则前i个物体放入j容量的最优解就时前i-1个物体放入j容量的最优解
 2.能放入：此时考虑两种情况：选择放入第i个和不放
 （1）.不放就是 f[i-1][j];
 （2）.放就是 f [ i-1 ] [ j - v[ i ] ] + w[ i ];(v[i]是第i个所需容量，w[i]是第i个所含价值)
 最后将放与不放进行比较选出最大的价值即为最优解
 
 
优化一维代码 
#include
using namespace std;
#define ll long long

const int N = 1010;
int f[N];

int main()
{	
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int v,w;
		cin>>v>>w;
		for(int j=m;j>=v;j--)
		{
			f[j] = max(f[j],f[j-v]+w);
		}
	}
	cout< 
优化代码理解 
 
 
二维数组到一维数组的优化无异是空间复杂度的优化，本题二维题解中可以求任何n.m，之内的前n个物体，背包容量为m下的最优解，而根据题意可以优化为将n固定则用覆盖为一维数组优化为 f [ j ] 表示前n个物体j容量下的最优解；但是优化遍历中j的遍历需要反向，因为在二维中 f [ i ][ j ] 的状态是根据 f[i-1][j] 来变化的，但在一维中f[i-1][j]已经在更新到 f [ i ][ j ] 之前已经被 f [ i ][ j ] 覆盖了，所以使用倒序进行遍历才正确。
 
 
完全背包问题 
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
 
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
 
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
 输出最大价值。
 
输入格式 
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
 
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。
 
输出格式 
输出一个整数，表示最大价值。
 
数据范围
 0 0 
输入样例 
 
 
4 5
 1 2
 2 4
 3 4
 4 5
 
 
输出样例 
 
 
10
 
 
题目链接 
https://www.acwing.com/problem/content/3/
 
代码实现： 
#include
using namespace std;
#define ll long long

const int N = 1010;
int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main()
{	
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>v[i]>>w[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
	{
		f[i][j]=f[i-1][j];
		
		if(j-v[i]>=0)
			f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
	
		
	}
	cout< 
思路 
 
 
与01背包一样就差个重复比较的过程
 
 
优化代码(完全背包) 
#include
using namespace std;
#define ll long long

const int N = 100010;
int v[N],w[N];
int f[N];

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=0;i
		int v,w;
		cin>>v>>w;
		for(int j=v;j<=m;j++)
			f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
	}
	cout< 
多重背包1 
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
 
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
 
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
 输出最大价值。
 
输入格式 
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
 
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
 
输出格式 
输出一个整数，表示最大价值。
 
数据范围
 0 0 
样例输入 
 
 
4 5
 1 2 3
 2 4 1
 3 4 3
 4 5 2
 
 
样例输出 
 
 
10
 
 
代码实现 
#include
using namespace std;
#define ll long long

const int N = 1010;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N][N];

int main()
{	
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++){
			
		for(int k=0;k<=s[i];k++)
		{
			if(j>=k*v[i])
			{
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
			}
		}
		
			
		}
	}
	cout< 
多重背包2 
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
 
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
 
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
 输出最大价值。
 
输入格式 
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
 
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
 
输出格式 
输出一个整数，表示最大价值。
 
数据范围
 0 0 0 
提示： 
本题考查多重背包的二进制优化方法。
 
输入样例 
 
 
4 5
 1 2 3
 2 4 1
 3 4 3
 4 5 2
 
 
输出样例 
 
 
10
 
 
题目链接： 
https://www.acwing.com/problem/content/description/5/
 
y总的讲解视频： 
https://www.acwing.com/video/217/
 
做后理解： 
 
 
本题题目和多重背包1十分相似，但是数据范围不一样，数据范围一改直接难度上升，如果还按照上题做无一复杂度达到了4*10^9,肯定会TLE,所以要想个优化方法，这时就有个二进制分组法，可以使这题的复杂度达到 2 *10^7,达到化解为01背包，然后用01背包板子做出。
 
 
代码实现： 
#include
using namespace std;
#define ll long long

const int N = 100010;
int v[N],w[N];
int f[N];

int main()
{
	int n,m,cnt=0;
	cin>>n>>m;
	for(int i = 0;i < n;i++)
	{
		int v1,w1,s;
		cin>>v1>>w1>>s;
		for(int k = 1;k<=s;k *= 2)
		{
			cnt++;
			v[cnt] = k*v1;
			w[cnt] = k*w1;
			s -= k;
		}
		if(s>0){
			cnt++;
			v[cnt] = s*v1;
			w[cnt] = s*w1;
		}
	}
	n = cnt;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		for(int j = m;j >= v[i];j--)
		{
			f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	cout< 
混合背包 
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
 
物品一共有三类：
 
第一类物品只能用1次（01背包）；
 第二类物品可以用无限次（完全背包）；
 第三类物品最多只能用 si 次（多重背包）；
 每种体积是 vi，价值是 wi。
 
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
 输出最大价值。
 
输入格式 
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
 
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
 
si=−1 表示第 i 种物品只能用1次；
 si=0 表示第 i 种物品可以用无限次；
 si>0 表示第 i 种物品可以使用 si 次；
 
输出格式 
输出一个整数，表示最大价值。
 
数据范围 
0 0 −1≤si≤1000
 
输入样例 
 
 
4 5
 1 2 -1
 2 4 1
 3 4 0
 4 5 2
 
 
输出样例 
 
 
8
 
 
题目链接 
https://www.acwing.com/problem/content/description/7/
 
解题思路 
本题就是01背包和多重背包完全背包的混合题型只需要根据分类再分别处理即可
 
代码实现 
#include
using namespace std;
#define ll long long

const int N = 100010;
int v[N],w[N];
int f[N];

int n,m;
struct thing{
	int kind;
	int v,w;
};
vector things; 
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=0;i	
		int v,w,s;
		cin>>v>>w>>s;
		if(s<0) things.push_back({-1,v,w});
		else if(s==0) things.push_back({0,v,w});
		else{
			for(int k=1;k<=s;k *= 2){
				things.push_back({-1,v*k,w*k});
				s -= k;
			}
			if(s>0) things.push_back({-1,v*s,w*s});
		}
		
	}
	for(auto thing:things){
		if(thing.kind<0){
			for(int j=m;j>=thing.v;j--){
				f[j]=max(f[j],f[j-thing.v]+thing.w);
			}
		}
		else{
			for(int j=thing.v;j<=m;j++)
			{
				f[j]=max(f[j],f[j-thing.v]+thing.w);
			}
		}
	}
	cout<