LeetCode刷题 - Union Find小结

并查集是一种树形的数据结构，用于处理不交集的合并（Union）及查询（Find）问题

Find：确定元素属于哪一个子集，它可以被用来确定两个元素是否属于同一子集

Union：将两个子集合并成同一个集合

1.with path compression

class DSU {
  int[] parent;
  public DSU(int N){
    parent = new int[N];
    for(int i = 0;i < N;i++) parent[i] = i;
  }
  public int find(int x){
    if(parent[x] != x) parent[x] = find(parent[x]);
  }
  public void union(int x, int y){
    parent[find(x)] = find(y);
  }
}

2.improved with ranked

class DSU {
  int[] parent;
  int[] rank;
  public DSU (int N) {
    parent = new int[N];
    rank = new int[N];
    for (int i = 0;i < N;i++) parent[i] = i;
    Arrays.fill(rank,1);
  }
  public int find(int x) {
    if (parent[x] != x) parent[x] = find(parent[x]);
    return parent[x];
  }
  public void union(int x,int y) {
    int rootX = find(x),rootY = find(y);
    if (rootX == rootY) return;
    if (rank[rootX] < rank[rootY]) {
      parent[rootX] = rootY;
    } else if (rank[rootX] > rank[rootY]) {
      parent[rootY] = rootX;
    } else { //只有rank相等的情况才需要维护rank
      parent[rootX] = rootY;
      rank[rootY]++;
    }
  }
}

3.improved with size（weighted） 

class DSU {
  int[] parent;
  int[] size;
  public DSU (int N) {
    parent = new int[N]; size = new int[N];
    for (int i = 0;i < N;i++) parent[i] = i;
    Arrays.fill(size,1);
  }
  public int find(int x) {
    if (parent[x] != x) parent[x] = find(parent[x]);
    return parent[x];
  }
  public void union(int x,int y) {
    int rootX = find(x),rootY = find(y);
    if (rootX == rootY) return;
    if (size[rootX] <= size[rootY]) {
      parent[rootX] = rootY;
      size[rootY] += size[rootX];
    } else if (size[rootX] > size[rootY]) {
      parent[rootY] = rootX;
      size[rootY] += size[rootX];
    }
  }
}

在我们使用Quick Union版本的并查集使用树形结构来组织节点的关系

那么性能跟树的深度有关系，简称O(n)，以前介绍二分搜索树的时候，时间复杂度也是O(n)

但是并查集并不是一个二叉树，而是一个多叉树，所以并查集的查询和合并时间复杂度并不是O(log n)

在加上rank和路径压缩优化后，并查集的时间复杂度为O(log n)

1.不可以update rank在path compression之后，因为可能存在着其他node有更长的path通向那个root

2.不需要更新rank在path compression之后，因为rank提供的只是一个upper bound，而不是exact value，一个较小的数值也可以符合upper bound，upper bound只是为了避免worst case

因为二者目的不一样，一个是为了避免worst case，一个是为了amortize