leetcode1703

得到连续k个1的最少交换次数

题目：给定一个只有0和1的数组和一个数字k，返回得到k个连续的1的最少交换次数。

这道题是python期末考试的附加题，并且是leetcode原题hard难度，考场上愣是没想出来怎么做，考完来看别人的题解学习一下。

思路：

题目需要求解最小交换次数，因此只需要考虑0和1之间的交换，如果交换00和01只会增加交换次数。我们可以将每个1的下标存起来，假设这些下标分别是a1，a2，a3....ak。然后需要把这些下标移动到一个连续的长度为k的区间:x,x+1,x+2...x+k-1。

现在的问题就是求解x使得上述的绝对值的和最小。也就是求上述点到一个公差为1的等差数列的距离的最小值。

总的移动的步数就是|a1-x|,|a2-(x+1)|,|a3-(x+2)|,.....|ak-(x+k-1)|。

上述的式子可以看做|(a1-0)-x|,|(a2-1)-x|,|(a3-2)-x|,....|(ak-(k-1))-x|，

也就是|a1`-x|,|a2`-x|,|a3`-x|,.....|ak`-x|。当x取a1`,a2`,a3`,....ak`的中位数时为最小值。

此外，在每次求连续k个ai`的和的最小值的时候，需要快速的求每个数与中位数的差的绝对值的和。可以利用前缀和来快速求解。

假设这连续k个ai`为a[l],a[l+1],a[l+2],...a[r],中位数是a[mid]

mid左边的和： a[mid] - a[l] + a[mid] - a[l+1] + ... + a[mid] - a[mid - 1]
                 = a[mid] * (mid - l) - (a[l] + a[l + 1] + ... + a[mid - 1])
                 = a[mid] * (mid - l) - (sum[mid - 1] - sum[l - 1])  

sum数组也就是前缀和数组。
                 
mid右边的和： a[r] - a[mid] + a[r - 1] - a[mid] + ... + a[mid + 1] - a[mid]
                 = sum[r] - sum[mid]  - (r - mid ) * a[mid]

class Solution {
public:
    int minMoves(vector& nums, int k) {
        int n = nums.size();
        vector arr;
        for(int i = 0;i sum(n+1);
        for(int i= 1 ;i<=arr.size();i++){
            sum[i] = sum[i-1] + arr[i-1];
        }
        int m = INT_MAX;
        for(int i = 0;i+k-1 < arr.size();i++){
            int j = i+k-1;
            int mid = i + j >> 1;
            int left = arr[mid] * (mid - i) - (sum[mid] - sum[i]);
            int right = sum[j+1] - sum[mid +1] - (j - mid) * arr[mid];
            m = min(m, right + left);
        }
        return m;
    }
};