本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-期末复习-网易公开课

Bullseye：第五单元 用python学习微积分（三十四）泰勒级数

Bullseye：第三单元 用python学习微积分（十九）FTC2（下）和定积分在对数和几何上的应用

目录

一、幂级数（Power series）

1、复习

（1）有一个数字R， ​编辑, 当 |x| < R , 级数的和是收敛的， 当 |x| > R , 级数的和是发散的，R就被称作衰减半径。

（2）当 |x| < R，也就是在收敛半径内部，f(x) 可以无限次就导，就像多项式求导。同时有 ​编辑。

（3）可以写成： ​编辑

2、例1 几何级数

​3、求取sin(x)

4、新的幂级数

（1）乘法

​（2）求导

（3）积分

（4）变量替换

一、幂级数（Power series）

多项式是幂级数的一个例子

1、复习

（1）有一个数字R， , 当 |x| < R , 级数的和是收敛的， 当 |x| > R , 级数的和是发散的，R就被称作衰减半径。

（2）当 |x| < R，也就是在收敛半径内部，f(x) 可以无限次就导，就像多项式求导。同时有 。

（3）可以写成：

2、例1 几何级数

假设有

由于

（ R=1 ）

使用泰勒公式展开

import numpy as np 
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt 
figure, ax= plt.subplots( 1 ) 
ax.set_aspect( 1 ) 
def DrawXY1(xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt, arrow =False):
    yarr = []
    xarr = np.linspace(xFrom ,xTo, steps) 
    for xval in xarr:
        #print(expr.subs(x,xval), xval)
        yval = expr.subs(x,xval)
        yarr.append(yval)
    y_nparr = np.array(yarr) 
    x_nparr = np.array(xarr) 
    length = len (xarr)
    
    plt.plot(x_nparr, y_nparr, c=color, label=label)  
    if(arrow and steps > 2):
        plt.arrow(float(x_nparr[0]),float( y_nparr[0]),float( x_nparr[2]-x_nparr[0]),float( y_nparr[2]-y_nparr[0]), width=.02, color = color) 
        
def DrawXY(tFrom,tTo,steps,exprX,exprY, color,label,plt, arrow =False):
    xarr = []
    yarr = []
    tarr = np.linspace(tFrom ,tTo, steps) 
    for tval in tarr:
        xval = exprX.subs(t,tval)
        xarr.append(xval)
        yval = exprY.subs(t,tval)
        yarr.append(yval)
    y_nparr = np.array(yarr) 
    x_nparr = np.array(xarr) 
    length = len (xarr)
    
    plt.plot(x_nparr, y_nparr, c=color, label=label)  
    if(arrow and steps > 2):
        plt.arrow(float(x_nparr[0]),float( y_nparr[0]),float( x_nparr[2]-x_nparr[0]),float( y_nparr[2]-y_nparr[0]), width=.02, color = color) 


x = symbols('x')

expr = 1/(x+1)

DrawXY1(-0.5,2,50,expr,color='c', label=' 1/(x+1)',plt = plt, arrow = False)
DrawXY1(-3.5,-1.5,50,expr,color='c', label=' 1/(x+1)',plt = plt, arrow = False)


plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

​3、求取sin(x)

我们知道，当 f(x) =sin(x) 有 f'(x) = cos(x), f''(x) = -sin(x), f'''(x) = -cos(x)...

4、新的幂级数

（1）乘法

x = symbols('x')
expr = x*sin(x)
DrawXY1(0,100,50,expr,color='c', label='x*sin(x)',plt = plt, arrow = True)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

​（2）求导

cos(x) = sin'(x)

这与上一章中用泰勒级数展开cos(x)的结果相同

（3）积分

由例一中几何级数展开可知

由积分计算可知

所以有

由于使用的几何级数展开，同时几何级数的收敛半径为1

这个级数的收敛级数也是1

R=1

（4）变量替换

由上一章内容可知

（ ）

误差函数:

（ ）

老师课上曾经讲过误差函数， 请参考下面课程Bullseye：第三单元 用python学习微积分（十九）FTC2（下）和定积分在对数和几何上的应用https://zhuanlan.zhihu.com/p/469921631

用幂级数展开

x = symbols('x')
expr =  1-x**2 + x**4/2  - x**6/6  
DrawXY1(-1,1,150,expr,color='c', label='e**(-x**2)',plt = plt, arrow = false)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

​