①决策变量，x =（x1,x2,x3…,xn）。
②目标函数，f(x)
③可行域，，常用一组不等式(约束条件)表示：
当目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的时，称为线性规划
2.模型特征①比例性，决策变量对目标函数和约束条件的“贡献”，与决策变量的取值成正比
②可加性，决策变量对目标函数和约束条件的“贡献”，与决策变量的取值无关
③连续性，决策变量的取值是连续的
二、线性规划模型求解（以数学模型第86页模型为例）
1.基本模型(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2.代码求解import cvxpy as cp
import numpy as np
coef = np.array([72, 64])#输入目标函数系数
left = np.array([[1, 1], [12, 8], [3, 0]])#输入约束条件系数
right = np.array([50, 480, 100])#输入约束条件上限值
x = cp.Variable(2)#构造决策变量
obj = cp.Maximize(coef @ x)#构造目标函数
cons = [x >= 0, left @ x <= right]#构造约束条件
prob = cp.Problem(obj, cons)#构建模型
prob.solve(solver='CPLEX')#模型求解
print("最优值:", prob.value)
print("最优解:", x.value)
print("剩余牛奶：", right[0] - sum(left[0] * x.value))
print("剩余劳动时间：", right[1] - sum(left[1] * x.value))
print("A1剩余加工能力：", right[2] - sum(left[2] * x.value))
3.输出结果
最优值: 3360.0
最优解: [20. 30.]
剩余牛奶： 0.0
剩余劳动时间： 0.0
A1剩余加工能力： 40.0
约束条件的右端不妨称为“资源”，目标函数不妨称为“效益”。
若“资源”在最优解下的剩余为0，则称该约束为有效约束。
2.影子价格当成为有效约束的“资源”增加，“效益”必然会增长。
“资源”增加带来的“效益”的增量可以看作“资源”的潜在价值，称为影子价格
四、复杂线性规划模型举例（以数学模型第96页模型为例）
1.基本模型(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
2.代码求解import cvxpy as cp
import numpy as np
#输入目标函数系数
coef = np.array([160, 130, 220, 170,
140, 130, 190, 150,
190, 200, 230])
#输入约束条件系数
left = np.array([[1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0],
[0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0],
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1],
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0]])
right_min = np.array([30, 70, 10, 10])#输入约束条件下限值
right_max = np.array([80, 140, 30, 50])#输入约束条件上限值
x = cp.Variable(11)#构造决策变量
obj = cp.Minimize(coef @ x)#构造目标函数
#构造约束条件
cons = [x >= 0,
left @ x <= right_max,
left @ x >= right_min,
cp.sum(x[0:4]) == 50,
cp.sum(x[4:8]) == 60,
cp.sum(x[8:11]) == 50]
prob = cp.Problem(obj, cons)#构建模型
prob.solve(solver="CPLEX")#模型求解
print("管理费用最小值为：", prob.value)
print("最优分配方案为：", x.value)
3.输出结果
管理费用最小值为： 24400.0
最优分配方案为： [ 0. 50. 0. 0. 0. 50. 0. 10. 40. 0. 10.]
在线性规划模型中，增加约束条件使得决策变量均为整数，这样得到的新模型就称为整数规划
例一（以数学模型第101页为例）
1.基本模型(1)
(2)
(3)
(4)
(5) 均为整数
2.代码求解import cvxpy as cp
import numpy as np
coef = np.array([2, 3, 4])#输入目标函数系数
left = np.array([[1.5, 3, 5], [280, 250, 400]])#输入约束条件系数
right = np.array([600, 60000])#输入输入约束条件上限值
x = cp.Variable(3, integer=True)#创建决策变量，并且为整数
obj = cp.Maximize(coef @ x)#构造目标函数
cons = [x >= 0, left @ x <= right]#构造约束条件
prob = cp.Problem(obj, cons)#构建模型
prob.solve(solver="CPLEX")#模型求解
print("最优值：", prob.value)
print("最优解：", x.value)
print("钢材剩余量：", right[0] - sum(left[0] * x.value))
print("劳动时间剩余量：", right[1] - sum(left[1] * x.value))
3.输出结果
最优值： 632.0
最优解： [ 64. 168. 0.]
钢材剩余量： 0.0
劳动时间剩余量： 80.0
（以数学模型第103页解法二为例）
在例一的基础上，增加新的约束条件——“如果生成某一类型汽车，则至少要生产80辆”，选择引入0-1变量，化为整数规划
1.基本模型(1)
(2)
(3)
(4)
(5) 均为整数
(6)
(7)
(8)
对于约束条件(6)-(8)，0-1变量y的存在就是为了控制决策变量x的范围，约束条件的上限就是为了保证y等于0时，决策变量x也一定为0。因此M的取值无需对决策变量x产生影响，取值时只需保证足够大即可。
2.代码求解import cvxpy as cp
import numpy as np
coef = np.array([2, 3, 4])
left = np.array([[1.5, 3, 5], [280, 250, 400]])
right = np.array([600, 60000])
x = cp.Variable(3, integer=True)
y = cp.Variable(3, integer=True)
obj = cp.Maximize(coef @ x)
cons = [x >= 0, left @ x <= right,
y >= 0, y <= 1,
x[0] >= 80 * y[0], x[0] <= 1000 * y[0],
x[1] >= 80 * y[1], x[1] <= 1000 * y[1],
x[2] >= 80 * y[2], x[2] <= 1000 * y[2], ]
prob = cp.Problem(obj, cons)
prob.solve(solver="CPLEX")
print("最优值：", prob.value)
print("最优解：", x.value)
print("钢材剩余量：", right[0] - sum(left[0] * x.value))
print("劳动时间剩余量：", right[1] - sum(left[1] * x.value))
3.输出结果
最优值： 610.0
最优解： [ 80. 150. 0.]
钢材剩余量： 30.0
劳动时间剩余量： 100.0
（以数学模型第107页解法三为例）
该模型的难点在于对分段函数进行变换，使得其可以使用线性规划、整数规划模型加以处理。
1.基本模型(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
约束条件(9)-(11)是对分段函数(1)转换得到的；每个z都是对分段函数每个分点的表示，两个相邻的z可以确定对应段x的取值；每个0-1变量y指的是是否在该分段；条件(12),(13)可用变量z表示x和c(x)。
2.代码求解import cvxpy as cp
import numpy as np
coef_x = np.array([4.8, 5.6, 4.8, 5.6])#输入目标函数x对应系数
coef_cx = np.array([0, 5000, 9000, 12000])#输入用z表示cx的系数
coef_buy_x = np.array([0, 500, 1000, 1500])#输入用z表示x的系数
left = np.array([[0, 0, 1, 1], [-1, 0, 1, 0], [0, -2, 0, 3]])#输入约束条件系数
right = np.array([1000, 0, 0])#输入约束条件上限值
x = cp.Variable(4)#创建决策变量x
y = cp.Variable(3, integer=True)#创建0-1变量y
z = cp.Variable(4)#创建变量z
obj = cp.Maximize(coef_x @ x - coef_cx @ z)#构造目标函数
#构造约束条件
cons = [cp.sum(x[0:2]) <= 500 + cp.sum(coef_buy_x @ z),
left @ x <= right,
sum(coef_buy_x @ z) <= 1500,
x >= 0,
z[0] <= y[0], z[1] <= y[0] + y[1], z[2] <= y[1] + y[2], z[3] <= y[2],
cp.sum(z[:]) == 1, z >= 0,
cp.sum(y[:]) == 1,
y >= 0, y <= 1]
prob = cp.Problem(obj, cons)#构造模型
prob.solve(solver="CPLEX")#求解模型
print("最优值：", prob.value)
print("最优解：", x.value)
print("购买原油A：", sum(coef_buy_x * z.value), "t")
3.输出结果
最优值： 5000.0
最优解： [ 0. 1500. 0. 1000.]
购买原油A： 1000.0 t
