已知a∈R，函数f=x2。若函数f在区间内是减函数，求实数a的取值范围；求函数f在区间[1，2]上的

题文

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a）。
（1）若函数f（x）在区间（0，

）内是减函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）；
（3）对（2）中的h（a），若关于a的方程h（a）=m（a+

）有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵


∴


∵函数f（x）在区间（0，

）内是减函数
∴

在

上恒成立
即

在

上恒成立。
∴


∴


故实数a的取值范围为[1，+∞）。
（2）


令f'（x）=0，得x=0或


①若a≤0，则当1≤x≤2时，f'（x）>0，所以f（x）在区间[1， 2]上是增函数，
所以h（a）=f（1）=1-a。
②若

，即

，则当1≤x≤2时，f'（x）>0，
所以f（x）在区间[1，2]上是增函数，
所以h（a）=f（1）=1-a。
③若

，即

，则当

时，f'（x）＜0
当

时，f'（x）>0
所以f（x）在

上是减函数，在

上是增函数
所以

。
④若a≥3，即

，则当1＜x＜2时，f'（x）＜0，
所以f（x）在区间[1，2]上是减函数
所以h（a）=f（2）=8-4a。
综上得

。（3）由题意

有两个不相等的实数解，即（2）中函数h（a）的图象与直线y=

有两个不同的交点，而直线y=

恒过定点

由图知实数m的取值范围是（-4，-1）。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知a∈R，函数f（x）=x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。