已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，，(Ⅰ)用定义证明：f(x)在[-1，1]上是增函

题文

已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，

，
(Ⅰ)用定义证明：f(x)在[-1，1]上是增函数；
(Ⅱ)解不等式：

；
(Ⅲ)若f(x)≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

(Ⅰ)证明：任取x₁＜x₂，且x₁，x₂∈[-1，1]，
则f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)+f(-x₂)

，
∵-1≤x₁＜x₂≤1，
∴x₁+(-x₂)≠0，
由已知

，
又x₁-x₂＜0，
∴f(x₁)-f(x₂)＜0，即f(x)在[-1，1]上为增函数．
(Ⅱ)∵f(x)在[-1，1]上为增函数，
∴

，解得

；
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知f(x)在[-1，1]上为增函数，且f(1)=1，
故对x∈[-1，1]，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即要t²-2at+1≥1成立，故t²-2at≥0，
记g(a)=t²-2at，对a∈[-1，1]，g(a)≥0，
只需g(a)在[-1，1]上的最小值大于等于0，g(-1)≥0，g(1)≥0，
解得，t≤-2或t=0或t≥2；
∴t的取值范围是：{t|t≤-2或t=0或t≥2}。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)是定义在[-1，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。