已知函数f是定义在R上的偶函数，且满足f=f．证明：f=f；当x∈时，f=x2-x-2x-

题文

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（2+x）=f（2-x）．
（Ⅰ）证明：f（x+4）=f（x）；
（Ⅱ）当x∈（4，6）时，f（x）=x2-x-2x-3．讨论函数f（x）在区间（0，2）上的单调性． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为函数f（x）是偶函数，
所以f（-x）=f（x），（1）（2分）
又f（2+x）=f（2-x）⇒f（2+2+x）=f（2-2-x）⇒f（4+x）=f（-x）（2）
由（1）、（2）得f（x+4）=f（x）（5分）
（Ⅱ）因为当x∈（4，6）时，f（x）=x2-x-2x-3
当0＜x＜2时，4＜x+4＜6，
由（Ⅰ）知f（x）=f（x+4）
=(x+4)2-(x+4)-2x+4-3
=x2+7x+10x+1（7分）
f′（x）=x2+2x-3(x+1)2（9分）
令f′（x）=0，得x=-3或x=l，因为0＜x＜2，所以x=1．
因为x∈（0，1）时，f′（x）＜O，x∈（1，2）时，f′（x）＞O，
所以函数以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．（12分）

解析

x2-x-2x-3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。