定义在R上的函数y=f是减函数，且对任意的a∈R，都有f+f=0，若x，y满足不等式f+f≤0，则当1≤x≤4时

题文

定义在R上的函数y=f（x）是减函数，且对任意的a∈R，都有f（-a）+f（a）=0，若x，y满足不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0，则当1≤x≤4时，2x-y的最大值为（ ）A．1B．10C．5D．8 题型：未知 难度：其他题型

答案

由于任意的a∈R都有f（-a）+f（a）=0，可知函数y=f（x）为奇函数
由f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0可得f（x²-2x）≤-f（2y-y²）
由函数为奇函数可得式f（x²-2x）≤f（-2y+y²）
∵函数y=f（x）为R上的减函数
∴x²-2x≥-2y+y²
即x²-y²-2（x-y）≥0
整理可得，（x+y-2）（x-y）≥0
作出不等式组(x+y-2)(x-y)≥01≤x≤4所表示的平面区域即可行域如图所示的△ABC
令Z=2x-y，则Z表示2x-y-z=0在y轴上的截距的相反数，
由图可知，当直线经过点A（1，1）时Z最小，最小值为Z=2×1-1=1，当直线经过点C（4，-2）Z最大，最大值2×4-（-2）=10
故选B

解析

(x+y-2)(x-y)≥01≤x≤4

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数y=f（x）是减函数，且.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。