已知实数a≤0，函数f=|x|．讨论f在R上的奇偶性；求函数f的单调区间；求函数f在闭区间[-1，12]的最

题文

已知实数a≤0，函数f（x）=|x|（x-a）．
（I）讨论f（x）在R上的奇偶性；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在闭区间[-1，12]的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x|x|，此时函数f（x）为奇函数．
当a＜0时，f（x）为非奇非偶函数．
（Ⅱ）当a=0时，f（x）=x|x|=x2，x≥0-x2，x＜0，
此时函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）．
当a＜0时，f（x）=|x|（x-a）=x(x-a)，x≥0-x(x-a)，x＜0，
此时函数f（x）的增区间为（-∞，a2），（0，+∞），函数f（x）的减区间为[a2，0]．
（Ⅲ）①当a2≤-1即a≤-2时，f(-1)=-1-a，f(12)=14-a2，
当a≤-52时，f(-1)≥f(12)，此时函数f（x）的最大值为f（-1）=-1-a．
当-52＜a≤-2时，f(-1)＜f(12)，此时函数f（x）的最大值为f(12)=14-a2．
②当-1＜a2≤0即-2＜a≤0，f(12)=14-a2，f(a2)=-a2⋅|a2|=a24，f(12)-f(a2)=14-a2-a24=-14(a+1)2+12＞0，
所以f(12)＞f(a2)，所以当-2＜a≤0时，函数f（x）的最大值为f(12)=14-a2．
综上，当a≤-52时，函数的最大值为f（-1）=-1-a．
当-52＜a≤0时，函数f（x）的最大值为f(12)=14-a2．

解析

x2，x≥0-x2，x＜0

考点

据考高分专家说，试题“已知实数a≤0，函数f（x）=|x|（x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。