已知二次函数f=ax2+bx+c，满足a-b+c=0，对于任意实数x都有f-x≥0，并且当x∈时，有f≤(x+

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c均为实数），满足a-b+c=0，对于任意实数x 都有f （x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，有f （x）≤(x+12)2．
（1）求f （1）的值；
（2）证明：ac≥116；
（3）当x∈[-2，2]且a+c取得最小值时，函数F（x）=f （x）-mx （m为实数）是单调的，求证：m≤-12或m≥32． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵对于任意x∈R，都有f（x）-x≥0，且当x∈（0，2）时，
有f（x）≤(x+12)2．令x=1
∴1≤f（1）≤(1+12)2．
即f （1）=1．
（2）由a-b+c=0及f （1）=1．
有a-b+c=0a+b+c=1，可得b=a+c=12．
又对任意x，f（x）-x≥0，即ax²-12x+c≥0．
∴a＞0且△≤0．
即14-4ac≤0，解得ac≥116．
（3）由（2）可知a＞0，c＞0．
a+c≥2ac≥2•116=12．
当且仅当a=ca+c=12时等号成立．此时
a=c=14．
∴f （x）=14x²+12x+14，
F （x）=f （x）-mx=14[x²+（2-4m）x+1]．
当x∈[-2，2]时，f （x）是单调的，所以F （x）的顶点一定在[-2，2]的外边．
∴|2-4m2|≥2．
解得m≤-12或m≥32．

解析

x+12

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。