已知定义在R上的函数f(x)=b-2x2x+a是奇函数求a，b的值；判断f的单调性，并用单调性定义证明；若对任意的t∈R，不等式f（t-

题文

已知定义在R上的函数f(x)=b-2x2x+a是奇函数
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f(0)=b-1a+1=0，
解得b=1，（1分）
∴f(x)=1-2xa+2x，
∴f(-x)=1-2-xa+2-x=2x-1a•2x+1=-f(x)=2x-1a+2x
∴a•2^x+1=a+2^x，即a（2^x-1）=2^x-1对一切实数x都成立，
∴a=1，
故a=b=1．（3分）
（2）∵a=b=1，
∴f(x)=1-2x1+2x=21+2x-1，
f（x）在R上是减函数．（4分）
证明：设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
则f(x1)-f(x2)=21+2x1-21+2x2
=-2(2x1-2x2)(1+2x1)(1+2x2)，
∵x₁＜x₂，
∴2x2＞2x1，1+2x1＞0，1+2x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数，（8分）
（3）∵不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0，
∴f（t-2t²）＞-f（-k），
∴f（t-2t²）＞f（k），
∵f（x）是R上的减函数，
∴t-2t²＜k（10分）
∴k＞t-2t2=-2(t-14)2+18对t∈R恒成立，
∴k＞18．（12分）

解析

b-1a+1

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数f(x)=b-2x2.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。