题文
探究函数f(x)=x+4x，x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下：x…0.511.51.71.922.12.22.33457…y…8.554.174.054.00544.0054.1024.244.355.87.57…请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：
（1）若函数f(x)=x+4x，（x＞0）在区间（0，2）上递减，则在______上递增；
（2）当x=______时，f(x)=x+4x，（x＞0）的最小值为______；
（3）试用定义证明f(x)=x+4x，（x＞0）在区间（0，2）上递减；
（4）函数f(x)=x+4x，（x＜0）有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？ 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵f（2.1）=4.005，f（2.2）=4.102，f（2.3）=4.24，f（3）=4.3…故函数f(x)=x+4x，（x＞0）在区间（2，+∞）（左端点可以闭）递增；
（2）由表格可知，x=2时，ymin=4 （4分）
（3）设0＜x1＜x2＜2，则
f（x1）-f（x2）=(x1+4x1)-(x2+4x2)=(x1-x2)+(4x1-4x2)
=(x1-x2)+4x2-4x1x1x2=(x1-x2)(1-4x1x2)
∵0＜x1＜x2＜2∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4∴4x1x2＞1∴1-4x1x2＜0
∴(x1-x2)(1-4x1x2)＞0即f（x1）-f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在区间（0，2）上递减．
（4）∵f(x)=x+4x为奇函数，∴当x=-2时有最大值-4．
解析
4x考点
据考高分专家说，试题“探究函数f(x)=x+4x，x∈（0，+.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
