设n为正整数，规定：fn(x)=f{f[…f(x)]}n个f，已知f(x)=2(1-x)，0≤x≤1x-1，1＜x≤2，解不等式f≤x；设集合

题文

设n为正整数，规定：fn(x)=f{f[…f(x)]}n个f，已知f(x)=2(1-x)，0≤x≤1x-1，1＜x≤2，
（1）解不等式f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f₃（x）=x；
（3）求f2007(89)的值；
（4）若集合B={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含8个元素． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x，得x≥23，∴23≤x≤1．
②当1＜x≤2时，∵x-1≤x恒成立，∴1＜x≤2． 
由①②得f（x）≤x的解集为{x|23≤x≤2}．
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴当x=0时，f₃（0）=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0，
当x=1时，f₃（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1，
当x=2时，f₃（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．  
（3）f1(89)=2(1-89)=29，f2(89)=f(f1(89))=f(29)=149，
f3(89)=f(f2(89))=f(149)=149-1=59，f4(89)=f(f3(89))=f(59)=2(1-59)=89，
一般地，f4k+r(89)=fr(89)，（k，r∈N^*），
∴f2007(89)=f3(89)=59． 
（4）由（1）知，f(23)=23，∴fn(23)=23，则f12(23)=23，23∈B．
由（2）知，对x=0或x=1或x=2恒有f₃（x）=x，∴f₁₂（x）=f_4×3（x）=x，则0，1，2∈B．
由（3）知，对x=89，29，149，59，恒有f₁₂（x）=f_4×3（x）=x，
∴89，29，149，59∈B．
综上所述：23，0，1，2，89，29，149，59∈B，
∴B中至少包含8个元素．

解析

23

考点

据考高分专家说，试题“设n为正整数，规定：fn(x)=f{f[.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。