已知函数f=-x3+ax2-4，f′是f的导函数．当a=2时，对于任意的m∈[-1，1]，n∈[-1，1]求f+f′（n

题文

已知函数f（x）=-x³+ax²-4（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）当a=2时，对于任意的m∈[-1，1]，n∈[-1，1]求f（m）+f′（n）的最小值；
（2）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知f（x）=-x³+2x²-4，f′（x）=-3x²+4x
令f′（x）=0，得x=0或43
当x在[-1，1]上变化时，f（x），f′（x）随x的变化情况如下表：



∴对于m∈[-1，1]，f（m）的最小值为f（0）=-4，
∵f′（x）=-3x²+4x的对称轴为x =23且抛物线开口向下
∴对于n∈[-1，1]，f′（n）的最小值为f′（-1）=-7，
∴f（m）+f′（n）的最小值为-11．
（2）∵f′（x）=-3x（x-2a3）
①若a≤0，当x＞0，时f′（x）＜0
∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，又f（0）=-4，则当x＞0时，f（x）＜-4∴当a≤0时，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0
②若a＞0，则当0＜x＜2a3时，f′（x）＞0，
当x＞2a3时，f′（x）＜0从而f（x）在（0，23]上单调递增，在[2a3，+∞）上单调递减，
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）_max=f（2a3）=-8a327+4a29-4
根据题意，4a327-4＞0，即a³＞27，解得a＞3
综上，a的取值范围是（3，+∞）

解析

43

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=-x3+ax2-4（a.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。