给出下列命题：①如果函数f对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有[f-f]＜0，则函数f在R上是减函数；②如果函数

题文

给出下列命题：
①如果函数f（x）对任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，则函数f（x）在R上是减函数；
②如果函数f（x）对任意的x∈R，都满足f（x）=-f（2+x），那么函数f（x）是周期函数；
③函数y=f（x）与函数y=f（x+1）-2的图象一定不能重合；
④对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．
其中正确的命题是 ______．（把你认为正确命题的序号都填上） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可知，
对任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，
当x₁＞x₂时，
f（x₁）＜f（x₂），
当x₁＜x₂时，
f（x₁）＞f（x₂），
可知函数随着x的递增而递减，递减而递增，
因而可知函数f（x）在R上是减函数，故此命题正确；
（2）由题意知f（x）=-f（2+x），
因而可知f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
因而可知函数的周期为4，故此命题正确．
（3）根据函数的平移，
可知函数y=f（x+1）-2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，
存在函数f（x）=2x使得图象可以重合，故此命题错误．
（4）由f（-x）=-f（x）
且x＞0时，f′（x）＞0，
知函数f（x）关于原点中心对称且单调递增，
由g（-x）=g（x）
且x＞0时，g′（x）＞0，
可知函数g（x）关于y轴对称且先单调递增后单调递减，
因此可判断出x＜0时，f′（x）＞g′（x），故此命题正确，
故答案为：①②④．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“给出下列命题：①如果函数f（x）对任意的.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。