已知函数f=log23x-13x+1，∪）判断函数f的奇偶性，并说明理由；判断函数f在区间（1

题文

已知函数f（x）=log₂3x-13x+1，（x∈（-∞，-13）∪（13，+∞））
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在区间（13，+∞）上的单调性． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）是奇函数．证明如下
证明：由题意可得函数的定义域关于原点对称
因为f（-x）=log₂-3x-1-3x+1=log₂3x+13x-1=log_2（3x-13x+1）^-1=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数．
（2）f（x）在区间（13，+∞）上的单调递减，证明如下
证明：令g（x）=3x-13x+1=x-13x+13=1-43x+13
设13＜x1＜x2，则g（x₁）-g（x₂）=1-43x1+13-(1-43x2+13)
=43x2+13-43x1+13=43(x1-x2)(13+x1)(13+x2)
∵13＜x1＜x2，则x₁-x₂＜0，(x1+13)(x2+13) ＞0
∴即g（x₁）＜g（x₂）
∴g（x）在（13，+∞）上单调递减
由于y=log₂g（x）在（0，+∞）单调递增，由复合函数的单调性可知y=log23x+13x-1在（13，+∞）单调递减

解析

-3x-1-3x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log23x-13x+.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。