已知a，b∈R且a≠2，定义在区间内的函数f(x)=lg1+ax1+2x是奇函数．求函数f的解析式及b的取值范围；讨论f的单

题文

已知a，b∈R且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f(x)=lg1+ax1+2x是奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式及b的取值范围；
（2）讨论f（x）的单调性． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(x)=lg1+ax1+2x，x∈（-b，b）是奇函数，
等价于对于任意-b＜x＜b都有f(-x)=-f(x)    (1)1+ax1+2x＞0          (2)成立，（1）
式即为 lg1-ax1-2x=-lg1+ax1+2x=lg1+2x1+ax．
∴1-ax1-2x=1+2x1+ax，即a²x²=4x²，
此式对于任意x∈（-b，b）都成立等价于a²=4，
因为a≠2，所以a=-2，所以f(x)=lg1-2x1+2x；
代入（2）式得：1-2x1+2x＞0，
即-12＜x＜12对于任意x∈（-b，b）都成立，
相当于-12≤-b＜b≤12，从而b的取值范围为(0，12]；
（2）对于任意x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，由b∈(0，12]，
得-12≤-b＜b≤12，所以0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂，
从而f（x₂）-f（x₁）=lg1-2x21+2x2-lg1-2x11+2x1
=lg(1-2x2)(1+2x1)(1+2x2)(1-2x1)＜lg1=0，
因此f（x）在（-b，b）是减函数；

解析

1+ax1+2x

考点

据考高分专家说，试题“已知a，b∈R且a≠2，定义在区间（-b.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。