设f是定义在R上的函数，对任意实数m、n，都有f•f=f，且当x＜0时，f＞1．证明：①f=1；②当x＞0时，0＜

题文

设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数m、n，都有f（m）•f（n）=f（m+n），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）证明：①f（0）=1；②当x＞0时，0＜f（x）＜1；③f（x）是R上的减函数；
（2）设a∈R，试解关于x的不等式f（x²-3ax+1）•f（-3x+6a+1）≥1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）①证明：在f（m）•f（n）=f（m+n）中，
令m=n=0
得f（0）•f（0）=f（0+0）即f（0）=f（0）•f（0）．
∴f（0）=0或f（0）=1，
若f（0）=0，则当x＜0时，
有f（x）=f（x+0）=f（x）•f（0）=0，
与题设矛盾，
∴f（0）=1．
②当x＞0时，-x＜0，由已知得f（-x）＞1，
又f（0）=f[x+（-x）]=f（x）•f（-x）=1，f（-x）＞1，
∴0＜f（x）=f(0)f(-x)＜1，即x＞0时，0＜f（x）＜1．
③任取x₁＜x₂，则f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）•f（x₂），
∵x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）＞1，又由（1）（2）及已知条件知f（x₂）＞0，
∴f（x₁-x₂）=f(x1)f(x2)＞1
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）在定义域R上为减函数．
（2）f（x²-3ax+1）•f（-3x+6a+1）=f（x²-3ax+1-3x+6a+1）=f[x²-3（a+1）x+2（3a+1）]
又f（0）=1，f（x）在R上单调递减，
∴原不等式等价于x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0
不等式可化为（x-2）[x-（3a+1）]≤0
当2＜3a+1，即a＞13时，不等式的解集为{x|2≤x≤3a+1}；
当2=3a+1，即a=13时，（x-2）²≤0，不等式的解集为{2}；
当2＞3a+1，即a＜13时，不等式的解集为{x|3a+1≤x≤2}．

解析

f(0)f(-x)

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。