题文
对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式f(x1)+f(x2)2=M，则称M为函数y=f （x）的“均值”．（1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；
（2）若函数f（x）=ax2-2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）对任意的x1∈[-1，1]，有-x1∈[-1，1]，当且仅当x2=-x1时，有f(x1)+f(x2)2=x1+x2+1=1，
故存在唯一x2∈[-1，1]，满足f(x1)+f(x2)2=1，
所以1是函数f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”．
（2）当a=0时，f（x）=-2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为-3；
当a≠0时，由f（x）=ax2-2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x1，
都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）=ax2-2x（1＜x＜2）单调，
故有1a≤1或1a≥2，
解得a≥1或a＜0或0＜a≤12，
综上，a的取值范围是a≤12或a≥1．
（3）①当I=（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”．
这时函数f（x）的“均值”为a+b2；
②当I为（-∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．
这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；
③当I=（a，+∞）或（-∞，a）或[a，+∞）或（-∞，a]或[a，b）或（a，b]时，
函数f（x）不存在“均值”．
①当且仅当I形如（a，b）、[a，b]其中之一时，函数f（x）存在唯一的“均值”．
这时函数f（x）的“均值”为a+b2；
②当且仅当I为（-∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．
这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；
③当且仅当I形如（a，+∞）、（-∞，a）、[a，+∞）、（-∞，a]、[a，b）、（a，b]其中之一时，
函数f（x）不存在“均值”．
解析
f(x1)+f(x2)2考点
据考高分专家说，试题“对于定义域为D的函数y=f（x），若有常.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
