题文
已知函数f（x）=x+ax+b（x≠0），其中a、b为实常数．（1）若方程f（x）=3x+1有且仅有一个实数解x=2，求a、b的值；
（2）设a＞0，x∈（0，+∞），写出f（x）的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；
（3）若对任意的a∈[12，2]，不等式f（x）≤10在x∈[14，1]上恒成立，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由已知，方程）=x+ax+b=3x+1有且仅有一个解x=2，因为x≠0，故原方程可化为2x2+（1-b）x-a=0，…（1分）
所以10-a-2b=0(1-b)2+8a=0，…（3分）解得a=-8，b=9．…（5分）
（2）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数．…（7分）
证明：设x1，x2∈（a，+∞），且x1＜x2，
f（x2）-f（x1）=x2+ax2-x1-ax1=（x2-x1）•x1x2-ax1x2，
因为x1，x2∈（a，+∞），且x1＜x2，
所以x2-x1＞0，x1x2＞a，
所以f（x2）-f（x1）＞0．…（10分）
所以f（x）在（a，+∞）上是增函数．…（11分）
（3）因为f（x）≤10，故x∈[14，1]时有f（x）max≤10，…（12分）
由（2），知f（x）在区间[14，1]的最大值为f（14）与f（1）中的较大者．…（13分）
所以，对于任意的a∈[12，2]，不等式f（x）≤10在x∈[14，1]上恒成立，当且仅当f(14)≤10f(1)≤10，
即b≤394-4ab≤9-a对任意的a∈[12，2]成立．…（15分）
从而得到b≤74． …（17分）
所以满足条件的b的取值范围是（-∞，74]． …（18分）
解析
ax考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x+ax+b（x≠0）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
