如图所示，在光滑水平面上有一质量为M的长木板，长木板上有一质量为m的小物块，它与长木板间的动摩擦因数为μ．开始时，长木板与小物块均靠在与水平面垂直的固定挡板处，

题文

如图所示，在光滑水平面上有一质量为M的长木板，长木板上有一质量为m的小物块，它与长木板间的动摩擦因数为μ．开始时，长木板与小物块均靠在与水平面垂直的固定挡板处，某时刻它们以共同的速度v₀向右运动，当长木板与右边的固定竖直挡板碰撞后，其速度的大小不变、方向相反，以后每次的碰撞均如此．设左右挡板之间的距离足够长，且M＞m．
（1）要想物块不从长木板上落下，则长木板的长度L应满足什么条件？
（2）若上述条件满足，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，求整个系统在第5次碰撞前损失的所有机械能．

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设第1次碰撞后小物块与长木板共同运动的速度为v₁，第n次碰撞后小物块与长木板共同运动的速度为v_n．每次碰撞后，由于两挡板的距离足够长，物块与长木板都能达到相对静止，第1次若不能掉下，往后每次相对滑动的距离会越来越小，更不可能掉下．由动量守恒定律和能量守恒定律有：
   （M-m）v₀=（M+m）v₁
  μmgs=12（m+M）v₀²-12（M+m）v₁²
解得：s=2Mv20μ(M+m)g
故L应满足的条件是：L≥s=2Mv20μ(M+m)g
（2）第2次碰撞前有：
（M-m）v₀=（M+m）v₁   
第3次碰撞前有：（M-m）v₁=（M+m）v₂
第n次碰撞前有：（M-m）v_n-2=（M+m）v_n-1
所以v_n-1=（M-mM+m）^n-1v₀
则第5次碰撞前有：v₄=（M-mM+m）⁴v₀
故第5次碰撞前损失的总机械能为：△E=12（M+m）v₀²-12（M+m）v₄²
代入数据解得：△E=149.98J．
答：
（1）要想物块不从长木板上落下，长木板的长度L应满足的条件是：L≥2Mv20μ(M+m)g．
（2）整个系统在第5次碰撞前损失的所有机械能是149.98J．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“如图所示，在光滑水平面上有一质量为M的长.....”主要考查你对 [动量守恒定律 ]考点的理解。

动量守恒定律

动量守恒定律：
1、内容：一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。
2、表达式：m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁'+m₂v₂'。
3、动量守恒定律成立的条件：
①系统不受外力或系统所受外力的合力为零；
②系统所受的外力的合力虽不为零，但系统外力比内力小得多，如碰撞问题中的摩擦力，爆炸过程中的重力等外力比起相互作用的内力来小得多，可以忽略不计；
③系统所受外力的合力虽不为零，但在某个方向上的分量为零，则在该方向上系统的总动量的分量保持不变。
4、动量守恒的速度具有“四性”：
①矢量性；②瞬时性；③相对性；④普适性。

动量守恒定律与机械能守恒定律的比较：

系统动量守恒的判断方法:

方法一：南动量守恒的条件判断动量守恒的步骤如下：
(1)明确系统由哪几部分组成。
(2)对系统中各物体进行受力分析，分清哪些是内力，哪些是外力。
(3)看所有外力的合力是否为零，或内力是否远大于外力，从而判断系统的动量是否守恒。
方法二：南系统动量变化情况判断动量守恒方法如下：
(1)明确初始状态系统的总动量是多少。
(2)对系统内的物体进行受力分析、运动分析，确定每一个物体的动量变化情况。
(3)确定系统动量变化情况，进而判定系统的动量是否守恒。