已知函数f的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2，都有f=f+f，且当x＞1时f＞0，f=1，（

题文

已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x₁、x₂，都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数； 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：令x₁=x₂=1，得f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
令x₁=x₂=-1，得f（-1）=0．
∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）．
∴f（x）是偶函数．
（2）证明：设x₂＞x₁＞0，则
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•x2x1 ）-f（x₁）
=f（x₁）+f（x2x1）-f（x₁）=f（ x2x1）．
∵x₂＞x₁＞0，∴x2x1＞1．
∴f（ x2x1）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

解析

x2x1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。