对于函数f(x)=a-2bx+1判断函数的单调性并证明；是否存在实数a使函数f为奇函数？并说明理由．

题文

对于函数f(x)=a-2bx+1 （a∈R，b＞0且b≠1）
（1）判断函数的单调性并证明；
（2）是否存在实数a使函数f （x）为奇函数？并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f （x）的定义域是R，
当b＞1时，函数f （x）在R上单调递增；当0＜b＜1时，函数f （x）在R上是单调递减．
证明：任取R上两x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f （x₁）-f （x₂）=a-2bx1+1-（ a-2bx2+1）=2bx2+1-2bx1+1=2(bx1-bx2)(bx1+1)•(bx2+1)
当b＞1时，∵x₁＜x₂∴bx1＜bx2∴bx1-bx2＜0
得f （x₁）-f （x₂）＜0   
所以f （x₁）＜f （x₂）
故此时函数f （x）在R上是单调增函数；
当0＜b＜1时，∵x₁＜x₂∴bx1＞bx2∴bx1-bx2＞0
得f （x₁）-f （x₂）＞0         
所以f （x₁）＞f （x₂）
故此时函数f （x）在R上是单调减函数．
（2）f （x）的定义域是R，
由f（0）=0，求得a=1．
当a=1时，f(-x)=1-2b-x+1=b-x-1b-x+1=1-bx1+bx，f(x)=1-2bx+1=bx-1bx+1
满足条件f（-x）=-f（x），
故a=1时函数f （x）为奇函数．

解析

2bx1+1

考点

据考高分专家说，试题“对于函数f(x)=a-2bx+1（a∈R.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。