已知a＞0，a≠1，函数f(x)=ax(x≤1)-x+a(x＞1)若函数f在[0，2]上的最大值比最小值大52，则a的值为______．

题文

已知a＞0，a≠1，函数f(x)=ax(x≤1)-x+a(x＞1)若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值大52，则a的值为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①当0＜a＜1时，可得
在[0，1]上，f（x）=a^x是减函数；且在（1，2]上，f（x）=-x+a是减函数
∵f（0）=a⁰=1＞-1+a，∴函数的最大值为f（0）=1；
而f（2）=-2+a＜a=f（1），所以函数的最小值为f（2）=-2+a
因此，-2+a+52=1，解之得a=12∈（0，1）符合题意；
②当a＞1时，可得
在[0，1]上，f（x）=a^x是增函数；且在（1，2]上，f（x）=-x+a是减函数
∵f（1）=a＞-1+a，∴函数的最大值为f（1）=a
而f（2）=-2+a，f（0）=a⁰=1，可得
i）当a∈（1，3]时，-2+a＜1，得f（2）=-2+a为函数的最小值，
因此，-2+a+52=a矛盾，找不出a的值．
ii）当a∈（3，+∞）时，-2+a＞1，得f（0）=1为函数的最小值，
因此，1+52=a，解之得a=72∈（3，+∞），符合题意．
综上所述，实数a的值为12或72
故答案为：12或72

解析

52

考点

据考高分专家说，试题“已知a＞0，a≠1，函数f(x)=ax(.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。