设函数f的定义域关于原点对称，对定义域内任意的x存在x1和x2，使x=x1-x2，且满足：f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)1+f(x1)•f

题文

设函数f（x）的定义域关于原点对称，对定义域内任意的x存在x₁和x₂，使x=x₁-x₂，且满足：
（1）f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)1+f(x1)•f(x2)；
（2）当0＜x＜4时，f（x）＞0
请回答你列问题：
（1）判断函数的奇偶性并给出理由；
（2）判断f（x）在（0，4）上的单调性并给出理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）在定义域内是奇函数．
因为在定义域内，对任意x存在x₁和x₂，使x=x₁-x₂，且满足：f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)1+f(x1)•f(x2)；
由于函数f（x）的定义域关于原点对称，-x必与x同时在定义域内，
同样存在x₁和x₂，使-x=x₂-x₁，且满足：f(-x)=f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)1+f(x2)•f(x1)，即f（x）=-f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）在定义域内是奇函数．
（2）函数f（x）在（0，l）上是单调递增函数．
任意取x₁，x₂∈（0，l），且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵函数f（x）在定义域内是奇函数，且当0＜x＜l时，f（x）＞0，
∴f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＜0，
又∵f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)1+f(x1)•f(x2)，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（0，l）上是单调递增函数．

解析

f(x1)-f(x2)1+f(x1)•f(x2)

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）的定义域关于原点对称，对定.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。