已知函数f(x)=x2+x+4x(x＞0)-x2-x+4x(x＜0)，求证：函数f是偶函数；判断函数f分别在区间

题文

已知函数f(x)=x2+x+4x(x＞0)-x2-x+4x(x＜0)，
（Ⅰ）求证：函数f（x）是偶函数；
（Ⅱ）判断函数f（x）分别在区间（0，2]，[2，+∞）上的单调性，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题可知函数定义域关于原点对称．
当x＞0时，-x＜0，
则f(x)=x2+x+4x，f(-x)=(-x2)-(-x)+4(-x)=x2+x+4x，
∴f（x）=f（-x）．
当x＜0时，-x＞0，
则f(x)=-x2-x+4x，f(-x)=(-x2)+(-x)+4(-x)=-x2-x+4x，
∴f（x）=f（-x）．
综上所述，对于x≠0，都有f（x）=f（-x），∴函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）当x＞0时，f(x)=x2+x+4x=x+4x+1，
设x₂＞x₁＞0，则f(x2)-f(x1)=x2-x1x1•x2(x1•x2-4)
当x₂＞x₁≥2时，f（x₂）-f（x₁）＞0；当2≥x₂＞x₁＞0时，f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函数f（x）在（0，2]上是减函数，函数f（x）在[2，+∞）上是增函数．
（另证：当x＞0，f(x)=x2+x+4x=x+4x+1，f′(x)=1-4x2；
∵0＜x≤2⇒0＜x2≤4⇔4x2≥1⇔1-4x2≤0
x≥2⇔x2≥4⇔0＜4x2≤1⇔1-4x2≥0
∴函数f（x）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数．

解析

x2+x+4x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x2+x+4x(x＞0.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。