设f=x2+bx+c．若f在[-2，2]上不单调，求b的取值范围；若f≥|x|对一切x∈R恒成立，求证：b2+1≤4

题文

设f（x）=x²+bx+c（b、c∈R）．
（1）若f（x）在[-2，2]上不单调，求b的取值范围；
（2）若f（x）≥|x|对一切x∈R恒成立，求证：b²+1≤4c；
（3）若对一切x∈R，有f(x+1x)≥0，且f(2x2+3x2+1)的最大值为1，求b、c满足的条件． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意-2＜-b2＜2，
∴-4＜b＜4；
（2）须x²+bx+c≥x与x²+bx+c≥-x同时成立，即(b-1)2-4c≤0(b+1)2-4c≤0，∴b²+1≤4c；
（3）因为|x+1x|≥2，依题意，对一切满足|x|≥2的实数x，有f（x）≥0．
①当f（x）=0有实根时，f（x）=0的实根在区间[-2，2]内，设f（x）=x²+bx+c，所以f(-2)≥0f(2)≥0-2≤-b2≤2，
即4-2b+c≥04+2b+c≥0-4≤b≤4，又2x2+3x2+1=2+1x2+1∈(2，3]，
于是，f(2x2+3x2+1)的最大值为f（3）=1，即9+3b+c=1，从而c=-3b-8．
故4-2b-3b-8≥04+2b-3b-8≥0-4≤b≤4，即b≤-45b≤-4-4≤b≤4，解得b=-4，c=4．
②当f（x）=0无实根时，△=b²-4c＜0，由二次函数性质知，
f（x）=x²+bx+c在（2，3]上的最大值只能在区间的端点处取得，
所以，当f（2）＞f（3）时，f(2x2+3x2+1)无最大值．
于是，f(2x2+3x2+1)存在最大值的充要条件是f（2）≤f（3），
即4+2b+c≤9+3b+c，所以，b≥-5．又f(2x2+3x2+1)的最大值为f（3）=1，
即9+3b+c=1，从而c=-3b-8．由△=b²-4c＜0，得b²+12b+32＜0，即-8＜b＜-4．
所以b、c满足的条件为3b+c+8=0且-5≤b＜-4．
综上：3b+c+8=0且-5≤b≤-4．

解析

-b2

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。