题文
某同学在研究函数f(x)=x1+|x| (x∈R)时，分别给出下面几个结论：①等式f（-x）+f（x）=0对x∈R恒成立；
②若f（x1）≠f（x2），则一定有x1≠x2；
③若m＞0，方程|f（x）|=m有两个不等实数根；
④函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上） 题型：未知 难度：其他题型
答案
由题意知①因为f(-x)=-x1+|-x|=-(x1+|x|)=-f(x)(x∈R)，所以f(x)=x1+|x|(x∈R)是奇函数，故f（-x）+f（x）=0对x∈R恒成立，即①正确；
②则当x＞0时，f（x）=11+1x反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函数
再由①知f（x）在（-∞，0）上也是增函数，从而f（x）为单调递增函数，
所以f（x1）≠f（x2），则一定有x1≠x2成立，故命题错误；
③因为f（x）为单调递增函数，所以|f（x）|为偶函数，因为f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，所以函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，且0≤|f（x）|＜1，所以当0＜m＜1时有两个不相等的实数根，当m≥1时不可能有两个不等的实数根，故本命题错误；
④可以判断g（x）为奇函数，并且g（x）在（-∞，0）上单调递减，即g（x）在（-∞，0）上g（x）＞0，在（0，+∞）上单调递减，即g（x）在（0，+∞）上g（x）＜0，故函数g（x）=f（x）-x在R上有一个零点．错误
故答案为：①②．
解析
-x1+|-x|考点
据考高分专家说，试题“某同学在研究函数f(x)=x1+|x|(.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
