已知y=f的定义域为R，且恒有等式2f+f+2x=0对任意的实数x成立．试求f的解析式；讨论f在R上的单调性，并用单

题文

已知y=f（x）的定义域为R，且恒有等式2f（x）+f（-x）+2^x=0对任意的实数x成立．
（Ⅰ）试求f（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论f（x）在R上的单调性，并用单调性定义予以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵2f（x）+f（-x）+2^x=0       ①对任意的实数x成立；
∴2f（-x）+f（x）+2^-x=0     ②；
①×2-②得：3f（x）+2×2^x-2^-x=0⇒f（x）=13（2^-x-2×2^x）；
（Ⅱ）函数在实数集上递减．
证明：任取a＜b，
则f（a）-f（b）=13（2^-a-2×2^a）-13（2^-b-2×2^b）
=13[（2^-a-2^-b）-2×（2^a-2^b）]
=13[（12a-12b）-2×（2^a-2^b）]
=13（2^b-2^a）（12a+b+2）；
∵a＜b；
∴2^b-2^a＞0，2^a+b＞0；
∴（2^b-2^a）（12a+b+2）＞0；
∴f（a）-f（b）＞0⇒f（a）＞f（b）．
∴函数f（x）在R上递减．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知y=f（x）的定义域为R，且恒有等式.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。