已知函数f=2x．求函数F=f+af，x∈若存在x∈，使f-af＞1成立，

题文

已知函数f（x）=2^x．
（1）求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（-∞，0），使f（2x）-af（x）＞1成立，求a的取值范围；
（3）若当x∈[0，3]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）F（x）=2^x+a•2^2x，x∈（-∞，0]．
令2^x=t，因x∈（-∞，0]，故t∈（0，1]．
2^x+a•2^2x=at²+t（0＜t≤1）．（2分）
当a=0时，F（x）_max=1．（3分）
当a≠0时，令g（t）=at2+t=a(t+12a)2-14a(0＜t≤1)．
若a＞0，t=1时g（t）取最大值，g（1）=a+1．（4分）
若-12＜a＜0，t=1时g（t）取最大值，g（1）=a+1．（5分）
若a≤-12，t=-12a时g（t）取最大值，g(-12a)=-14a．（6分）
综上，F(x)max=1+a，a＞-12-14a，a≤-12.（7分）
（2）令2^x=t，则存在t∈（0，1）使得t²-at＞1，
即存在t∈（0，1）使得a＜t-1t，∴a＜0．a的取值范围是（-∞，0）．（9分）
（3）因f（x）=2^x是单调增函数，故由f（x+1）≤f[（2x+a）²]得x+1≤（2x+a）²，
问题转化为x+1≤（2x+a）²对x∈[0，3]恒成立，（10分）
即4x²+（4a-1）x+a²-1≥0，令h（x）=4x²+（4a-1）x+a²-1，
若1-4a8＜0，必需且只需h（0）≥0，此时得a≥1；（12分）
若1-4a8＞3，必需且只需h（3）≥0，此时得a≤-8；（14分）
若0≤1-4a8≤3，必需且只需△=（4a-1）²-16（a²-1）≤0，此时无解．
综上得a的取值范围是{a|a≤-8或a≥1}．（16分）

解析

12a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x．（1）求函数F（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。