定义在R上的奇函数f有最小正周期4，且x∈时，f(x)=3x9x+1．求f在[-2，2]上的解析式；判断f在上

题文

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，f(x)=3x9x+1．
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，2）上的单调性，并给予证明；
（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设x∈（-2，0），则-x∈（0，2）
∵x∈（0，2）时，f(x)=3x9x+1=13x+13x
∴f(-x)=13x+13x
由函数f（x）为奇函数可得，f（-x）=-f（x）
∴f(x)=-13x+13x
∵f（0）=0，
∵周期为4且为奇函数，f（-2）=-f（2）=f（2）
∴f（-2）=f（2）=0
f(x)=13x+3-x，x∈(0，2)0，x=0，±2-13x+3-x，x∈(-2，0)
（2）设0＜x₁＜x₂＜2
令g(x)=3x+13x
则g(x1)-g(x2)=3x1+13x1-3x2-13x2=(3x1-3x2)+3x2-3x13x1•3x2
=(3x1-3x2)(1-13x13x2)
∵0＜x₁＜x₂＜2
∴g（x₁）＜g（x₂）
∴函数g（x）在（0，2）单调递增，且g（x）＞0
∴f（x）在（0，2）单调递减
（3）由（2）可得当0＜x＜2时，f(x)=13x+3-x单调递减
故982＜f(x)＜12
由奇函数的对称性可得，x∈（-2，0）时，-12＜f(x)＜-982
当x=0时，f（0）=0
∵关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解
∴982＜λ＜12或-12＜λ＜-982或λ =0

解析

3x9x+1

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。