已知函数f=4x-a1+x2在区间[m，n]上为增函数，若m=0，n=1时，求实数a的取值范围；若ff=-4．则当f-f（m

题文

已知函数f（x）=4x-a1+x2在区间[m，n]上为增函数，
（I）若m=0，n=1时，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（m）f（n）=-4．则当f（n）-f（m）取最小值时，
（i）求实数a的值；
（ii）若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n）是f（x）图象上的两点，且存在实数x₀∈（a，n）使得f′（x₀）=f(x2)-f(x1)x2-x1，证明：x₁＜x₀＜x₂． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）若m=0，n=1，由已知函数f（x）=4x-a1+x2  在区间[0，1]上为增函数，
可得 f′（x）=4(1+x2)-2x(4x-a)(1+x2)2=-2(2x2-ax-2)(1+x2)2 在区间[0，1]上恒正，
故有f′(0)≥0f′(1)≥0，解得a≥0，故实数a的取值范围为[0，+∞）．
（Ⅱ）（i）因为f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]≥2f(n)[-f(m)]=24=4，当且仅当f（n）=-f（m）=2时等号成立．
由f（n）=4n-a1+n2，有-a=2（n-1）²≥0，得a≤0； 由f（m）=4m-a1+m2，有a=2（m+1）²≥0，得a≥0；（10分）
故f（n）-f（m）取得最小值时，a=0，n=1．
（ii）此时，f′（x₀）=4(1-x02)(1+x02)2，f(x2)-f(x1)x2-x1=4(1-x1•x2)(1+x12)(1+x22)，
由f′（x₀）=f(x2)-f(x1)x2-x1，可得 (1-x02)(1+x02)2=1-x1•x2(1+x12)(1+x22)．
欲证x₁＜x₀＜x₂，先比较 (1-x02)(1+x02)2 与 (1-x12)(1+x12)2 的大小．
由于 (1-x02)(1+x02)2-(1-x12)(1+x12)2=1-x1•x2(1+x12)(1+x22)-(1-x12)(1+x12)2=(x1-x2)(2x1+x2-x12 •x2)(1+x12)(1+x22)=(x1-x2)[x1(2-x1•x2) x2](1+x12)(1+x22)．
因为0＜x₁＜x₂＜1，所以0＜x₁x₂＜1，有x₁（2-x₁x₂）+x₂＞0，
于是（x₁-x₂）[x₁（2-x₁x₂）+x₂]＜0，即 (1-x02)(1+x02)2-(1-x12)(1+x12)2＜0．
另一方面，(1-x02)(1+x02)2-(1-x12)(1+x12)2=(x12-x02)[ 3+x12+x02-x12•x02](1+x02)(1+x12)，
因为0＜x₁²x₀²＜1，所以3+x₁²+x₀²-x₁²x₀²＞0，从而x₁²-x₀²＜0，即x₁＜|x₀|．
同理可证x₀＜x₂，因此x₁＜|x₀|＜x₂．

解析

4x-a1+x2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=4x-a1+x2在区间.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。