已知f=ex-e-x，g=ex+e-x，其中e=2.718…．求[f]2-[g]2的值；设f•f=4，g•

题文

已知f（x）=e^x-e^-x，g（x）=e^x+e^-x，其中e=2.718…．
（1）求[f（x）]²-[g（x）]²的值；
（2）设f（x）•f（y）=4，g（x）•g（y）=8，求g(x+y)g(x-y)的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）[f（x）]²-[g（x）]²=[f（x）+g（x）]•[f（x）-g（x）]=2e^x•（-2e^-x）=-4e⁰=-4．
（2）f（x）•f（y）=（e^x-e^-x）•（e^y-e^-y）
=e^x+y+e^-（x+y）-e^x-y-e^-（x-y）
=g（x+y）-g（x-y）=4，①
g（x）•g（y）=（e^x+e^-x）（e^y+e^-y）
=e^x+y+e^-（x+y）+e^x-y+e^-（x-y）
=g（x+y）+g（x-y）=8．②
联立①②得g(x+y)-g(x-y)=4g(x+y)+g(x-y)=8
解得g（x+y）=6，g（x-y）=2，
所以g(x+y)g(x-y)=3．

解析

g(x+y)-g(x-y)=4g(x+y)+g(x-y)=8

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=ex-e-x，g（x）=e.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。