已知定义在R上的函数F满足F=F+F，当x＞0时，F＜0，且对任意的x∈[0，1]，不等式组F(2kx-x2)＜F(k-4)F

题文

已知定义在R上的函数F（x）满足F（x+y）=F（x）+F（y），当x＞0时，F（x）＜0，且对任意的x∈[0，1]，不等式组F(2kx-x2)＜F(k-4)F(x2-kx)＜F(k-3)均成立，
（1）求证：函数F（x）在R上为减函数
（2）求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0∴F（x₂-x₁）＜0                                      …（1分）
∴F（x₂）=F（x₂-x₁）+F（x₁）＜F（x₁）∴函数F（x）在R上为减函数                            …（4分）
（2）∵函数F（x）在R上为减函数∴2kx-x2＞k-4x2-kx＞k-3对x∈[0，1]成立，…（6分）
依题有f(x)=x2-2kx+k-4＜0g(x)=x2-kx-k+3＞0对x∈[0，1]成立
由于f（x）＜0对x∈[0，1]成立∴f(0)＜0f(1)＜0∴-3＜k＜4①…（10分）
由于g（x）＞0对x∈[0，1]成立∴k＜x2+3x+1=(x+1)2-2(x+1)+4x+1
∴k＜(x+1)+4x+1-2恒成立∴k＜2②…（14分）
综上由①、②得-3＜k＜2…（16分）

解析

2kx-x2＞k-4x2-kx＞k-3

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数F（x）满足F（x+.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。