设f是定义在R上的奇函数，g与f的图象关于直线x=1对称，若g=a-3．求f的解析式；当x=1时，

题文

设f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，若g（x）=a（x-2）-（x-2）³．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x=1时，f（x）取得极值，证明：对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立；
（3）若f（x）是[1，+∞）上的单调函数，且当x₀≥1，f（x₀）≥1时，有f[f（x₀）]=x₀，求证：f（x₀）=x₀． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）与g（x）的图象关于x=1对称，
设点M（x，f（x））是f（x）上的任意一点．则点M关于x=1的对称点（2-x，g（2-x））在函数g（x）的图象上．
∴f（x）=g（2-x）=-ax+x³．  …（3分）
（2）f′（x）=-a+3x²，又x=1是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（1）=0⇒-a+3=0，得a=3，…（4分）
故f（x）=-3x+x³．f′（x）=-3+3x²=-3（x+1）（x-1），当x∈[-1，1]，f′（x）≤0，
∴f（x）在[-1，1]上是减函数．  …（5分）f_min（x）=f（1）=-2，f_max（x）=f（-1）=2，…（7分）
故对任意x₁，x₂∈（-1，1），有|f（x₁）-f（x₂）|＜|2-（-2）|=4．  …（8分）
（3）若f（x）在[1，+∞）是减函数，则f′（x）=-a+3x²＜0在[1，+∞）上恒成立．
即a≥3x²在[1，+∞）上恒成立，此时a不存在；  …（9分）
若f（x）在[1，+∞）是增函数，即a≤3x²在[1，+∞）上恒成立．故a≤3．  …（11分）
设f（x₀）＞x₀≥1则f[f（x₀）]＞f（x₀），∴x₀＞f（x₀）矛盾，…（13分）
若x₀＞f（x₀）≥1则f（x₀）＞f[f（x₀）]∴f（x₀）＞x₀矛盾！
故f（x₀）=x₀．                                           …（15分）

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。