已知函数f=loga，若函数y=g的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f的图象：写出g的解析式记F

题文

已知函数f（x）=log_a（x+1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象：
（1）写出g（x）的解析式
（2）记F（x）=f（x）+g（x），讨论F（x）的单调性
（3）若a＞1，x∈[0，1）时，总有F（x）=f（x）+g（x）≥m成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设P（x，y）是函数y=g（x）图象上的任意一点
则P关于原点的对称点Q的坐标为（-x，-y）
∵已知点Q在函数f（x）的图象上
∴-y=f（-x），而f（x）=log_a（x+1）
∴-y=log_a（-x+1）
∴y=-log_a（-x+1）
而P（x，y）是函数y=g（x）图象上的点
∴y=g（x）=-log_a（-x+1）=-log_a（1-x）
（2）F（x）=f（x）+g（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）=loga1+x1-x，
则函数F（x）=loga1+x1-x的定义域为（-1，1），
令h（x）=1+x1-x，则h′（x）=2(1-x)2，
∵当x∈（-1，1）时，h′（x）≥0恒成立
故h（x）=1+x1-x在（-1，1）上单调递增，
当0＜a＜1时，y=log_at为减函数，此时F（x）=loga1+x1-x为减函数，
当a＞1时，y=log_at为增函数，此时F（x）=loga1+x1-x为增函数．
（3）由（2）得若a＞1
当x∈[0.1）时，F（x）=loga1+x1-x为增函数
此时F（x）_min=F（0）=log_a1=0
∴m≤0
∴所求m的取值范围：m≤0

解析

1+x1-x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=loga（x+1），若.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。