给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x0，都有函数值f∈D，则称函数y=f在D上封闭．若定义域D1=，判断下列函数中

题文

给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x₀，都有函数值f（x₀）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．
（1）若定义域D₁=（0，1），判断下列函数中哪些在D₁上封闭，且给出推理过程f₁（x）=2x-1，f₂（x）=-12x2-12x+1，f₃（x）=2^x-1，f₄（x）=cosx．；
（2）若定义域D₂=（1，2），是否存在实数a使函数f（x）=5x-ax+2在D₂上封闭，若存在，求出a的值，并给出证明，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f₁（12）=0∉（0，1），
∴f（x）在D₁上不封闭；
∵f₂（x）=-（x+12）²+98在（0，1）上是减函数，
∴0＜f₂（1）＜f₂（x）＜f₂（0）=1，
∴f₂（x）∈（0，1）⇒f₂（x）在D₁上封闭；
∵f₃（x）=2^x-1在（0，1）上是增函数，∴0=f₃（0）＜f₃（x）＜f₃（1）=1，
∴f₃（x）∈（0，1）⇒f₃（x）在D₁上封闭；
∵f₄（x）=cosx在（0，1）上是减函数，∴cos1=f₄（1）＜f₄（x）＜f₄（0）=1，
∴f₄（x）∈（cos1，1）⊂（0，1）⇒f₄（x）在D₁上封闭；
（2）f（x）=5-a+10x+2，假设f（x）在D₂上封闭，对a+10讨论如下：
若a+10＞0，则f（x）在（1，2）上为增函数，故应有f(1)≥1f(2)≤2⇒a≤2a≥2⇒a=2 
若a+10=0，则f（x）=5，此与f（x）∈（1，2）不合，
若a+10＜0，则f（x）在（1，2）上为减函数，故应有f(1)≤2f(2)≥1⇒a≥-1a≤-6，无解，
综上可得，a=2时f（x）在D₂上封闭．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。